Question

4．如图，已知ED为⊙O的直径且ED=4，点A（不与E、D重合）为⊙O上一个动点，线段AB经过点E，且EA=EB，F为⊙O上一点，∠FEB=90°，BF的延长线交AD的延长线交于点C．
（1）求证：△EFB≌△ADE；
（2）当点A在⊙O上移动时，直接回答四边形FCDE的最大面积为多少．

Answer 1

分析 （1）连接FA，根据垂直的定义得到EF⊥AB，得到BF=AF，推出BF=ED，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠B=∠AED，得到DE∥BC，推出四边形形FCDE，得到E到BC的距离最大时，四边形FCDE的面积最大，即点A到DE的距离最大，推出当A为$\widehat{DE}$的中点时，于是得到结论．

解答 解：（1）连接FA，
∵∠FEB=90°，
∴EF⊥AB，
∵BE=AE，
∴BF=AF，
∵∠FEA=∠FEB=90°，
∴AF是⊙O的直径，
∴AF=DE，
∴BF=ED，
在Rt△EFB与Rt△ADE中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=AE}\\{BF=DE}\\{\;}\end{array}\right.$，
∴Rt△EFB≌Rt△ADE；
（2）∵Rt△EFB≌Rt△ADE，
∴∠B=∠AED，
∴DE∥BC，
∵ED为⊙O的直径，
∴AC⊥AB，
∵EF⊥AB，
∴EF∥CD，
∴四边形FCDE是平行四边形，
∴E到BC的距离最大时，四边形FCDE的面积最大，
即点A到DE的距离最大，
∴当A为$\widehat{DE}$的中点时，
点A到DE的距离最大是2，
∴四边形FCDE的最大面积=4×2=8．

点评 本题考查了圆周角定理，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．