Question

已知：方程x²-（2k+1）（x-2）-4=0
（1）求证：无论k取任何实数，方程总有两个实数根．
（2）若等腰△ABC的一边a=4，另两边b、c恰是这个方程的两根，试求△ABC的周长．

Answer 1

（1）证明：方程化为一般形式为：x²-（2k+1）x+4k-2=0，
∵△=（2k+1）²-4（4k-2）=（2k-3）²，
而（2k-3）²≥0，
∴△≥0，
所以无论k取任何实数，方程总有两个实数根．
（2）解：x²-（2k+1）x+4k-2=0，有（x-2）[x-（2k-1）]=0，
∴x₁=2，x₂=2k-1，
当a=4为等腰△ABC的底边，则有b=c，因为b、c恰是这个方程的两根，则2=2k-1，解得k=，这不满足三角形三边的关系，舍去；
当a=4为等腰△ABC的腰，因为b、c恰是这个方程的两根，所以只能2k-1=4，解得k=，此时三角形的周长为2+4+4=10．
所以△ABC的周长为10．
分析：（1）先把方程化为一般式：x²-（2k+1）x+4k-2=0，要证明无论k取任何实数，方程总有两个实数根，即要证明△≥0；
（2）先利用因式分解法求出两根：x₁=2，x₂=2k-1．先分类讨论：若a=4为底边；若a=4为腰，分别确定b，c的值，求出三角形的周长．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b²-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了分类讨论的思想方法的运用、等腰三角形的性质和三角形三边的关系．