Question

在矩形ABCD中（如图1），AB=a，BC=b，M是BC的中点，DE⊥AM，垂足为E．
（1）如图1，求DE的长（用a，b表示）；
（2）如图2，如图3，若垂足E落在点M或AM的延长线上，结论是否与（1）相同？

Answer 1

分析：（1）根据中点定义求出AM，再根据同角的余角相等求出∠AMB=∠DAE，然后利用两组角对应相等，两三角形相似求出△ABM和△DEA相似，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可；
（2）结论不变，求解过程完全相同．

解答：解：（1）∵M是BC的中点，BC=b，
∴BM=

1

2

b，
∴AM=

AB2+BM2

=

a2+( b 2 )2

=

4a2+b2

2

，
∵∠BAM+∠DAE=∠BAC=90°，
∠BAM+∠AMB=180°-90°=90°，
∴∠AMB=∠DAE，
又∵∠B=∠AED=90°，
∴△ABM∽△DEA，
∴

DE

AB

=

AD

AM

，
即

DE

a

=

b

4a2+b2 2

，
解得DE=

2ab

4a2+b2

=

2ab 4a2+b2

4a2+b2

；

（2）垂足E落在点M或AM的延长线上时结论与（1）相同，求解过程可以与（1）完全相同．

点评：本题考查了矩形的性质，主要利用了勾股定理，相似三角形的判定与性质，根据垂足E变化，而相似的三角形始终不变考虑解答是解题的关键．