Question

如图，正方形ABOD的边长是2，C为AB的中点，直线CD交x轴于点F．
（1）求直线CD所在的函数解析式；
（2）在x轴上取点E，连DE，使得∠1=∠2，试说明EC⊥CD的理由；
（3）求点E的坐标．

Answer 1

分析：（1）由题意知点C、D的坐标，利用“两点式”来求直线CD所在的函数解析式；
（2）先证△ACD≌△BCF，再根据全等三角形的性质：对应边相等知，CD=CF；对应角相等∠1=∠DFE=∠2；故DE=EF，由等腰三角形的性质得出结论CE⊥CD；
（3）由（1）知DE=EF，所以DE+OE=EF+EO=4，在Rt△DEO中，根据勾股定理的，OE²+OD²=DE²，即OE²+2²=（4-OE）²，解得OE=1.5所以点E的坐标就迎刃而解了．

解答：解：（1）根据题意知，C（-2，1）、D（0，2），则过C、D两点的直线方程为：

y-1

2-1

=

x-(-2)

0-(-2)

，整理得，
y=0.5x+2；
∴直线CD所在的函数解析式是y=0.5x+2；

（2）证明：在△ACD和△BCF中，
∵C为AB的中点，
∴AC=BC；
∵∠ACD=∠BCF（对顶角相等），∠A=∠CBF=90°，
∴△ACD≌△BCF；
∴CD=CF；∠1=∠DFE，
又∵∠1=∠2，
∴∠DFE=∠2，
∴DE=EF，
∴CE⊥CD；

（3）由（2）知，DE=EF，
∴DE+OE=EF+EO=4；
在Rt△DEO中，OE²+OD²=DE²
即OE²+2²=（4-OE）²，
解得OE=1.5，
∴E（-1.5，0）．

点评：（1）用待定系数法求一次函数解析式，是常用的一种解题方法；
（2）本题主要考查的是全等三角形的判定、性质以及等腰三角形的性质；
（3）本题主要考查的是直角三角形的性质．