Question

如图（1），抛物线y=x²-2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-3）．[图（2）、图（3）为解答备用图]

（1）k=

 

，点A的坐标为

 

，点B的坐标为

 

；
（2）设抛物线y=x²-2x+k的顶点为M，求四边形ABMC的面积；
（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）将C点坐标代入抛物线的解析式中，即可求出k的值；令抛物线的解析式中y=0，即可求出A、B的坐标；
（2）将抛物线的解析式化为顶点式，即可求出M点的坐标；由于四边形ACMB不规则，可连接OM，将四边形ACMB的面积转化为△ACO、△MOC以及△MOB的面积和；
（3）当D点位于第三象限时四边形ABCD的最大面积显然要小于当D位于第四象限时四边形ABDC的最大面积，因此本题直接考虑点D为与第四象限时的情况即可；设出点D的横坐标，根据抛物线的解析式即可得到其纵坐标；可参照（2）题的方法求解，连接OD，分别表示出△ACO、△DOC以及△DOB的面积，它们的面积和即为四边形ABDC的面积，由此可得到关于四边形ABDC的面积与D点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABDC的最大面积及对应的D点坐标．

解答：解：（1）由于点C在抛物线的图象上，则有：k=-3；
∴y=x²-2x-3；
令y=0，则x²-2x-3=0，
解得x=-1，x=3，
∴A（-1，0），B（3，0）；
故填：k=-3，A（-1，0），B（3，0）；

（2）抛物线的顶点为M（1，-4），连接OM；
则△AOC的面积=

1

2

AO•OC=

1

2

×1×3=

3

2

，
△MOC的面积=

1

2

OC•|x_M|=

1

2

×3×1=

3

2

，
△MOB的面积=

1

2

OB•|y_M|=

1

2

×3×4=6；
∴四边形ABMC的面积=△AOC的面积+△MOC的面积+△MOB的面积=9；

（3）设D（m，m²-2m-3），连接OD；
则0＜m＜3，m²-2m-3＜0；
且△AOC的面积=

3

2

，△DOC的面积=

3

2

m，△DOB的面积=-

3

2

（m²-2m-3）；
∴四边形ABDC的面积=△AOC的面积+△DOC的面积+△DOB的面积
=-

3

2

m²+

9

2

m+6=-

3

2

（m-

3

2

）²+

75

8

；
∴存在点D（

3

2

，-

15

4

），使四边形ABDC的面积最大，且最大值为

75

8

．

点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象与坐标轴交点坐标的求法、图形面积的求法、二次函数的应用等重要知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生数形结合的数学思想方法．