Question

8．已知，在边长为4的正方形ABCD中，以AB为半径作扇形AOC，E是弧AC上一动点，过E作弧AC的切线分别交AD，CD于点M和N．
（1）求证：∠MBN=45°；
（2）当E在弧上运动时，求出S_△DMN的最大值．并求出此时AM的长度；
（3）若BM，BN分别于对角线交于P，Q两点，设AM=x，PQ=y，求出y关于x的函数解析式．

Answer 1

分析 （1）如图1，连接BE，根据切线的性质证明Rt△ABM≌Rt△EBM，则∠ABM=∠EBM，同理得：∠EBN=∠CBN，可得∠MBN=45°；
（2）如图2，将△ABM绕点B顺时针旋转90°得到△CBM′先表示S_{五边形MABCN}=S_△ABM+S_△BMN+S_△CBN=4MN，当4MN最小时，S_△DMN最大，再由△DMN的周长为8，设DM=a，DN=b，由勾股定理得：MN=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，计算当a=b时，MN有最小值是8（$\sqrt{2}$-1），此时S_△DMN最大，根据S_△DMN=S_{正方形ABCD}-S_{五边形MABCN}求出最大值即可；
（3）如图1，证明△AMP∽CBP，列比例式$\frac{AM}{CB}=\frac{PM}{PB}$=$\frac{x}{4}$，由比例式的性质得：$\frac{BM}{PB}=\frac{x+4}{4}$，则PB=$\frac{4BM}{x+4}$，同理得：PC=$\frac{4AC}{x+4}$，再证明△BPQ∽△CPB，得：PB²=PQ•PC，可得y关于x的函数解析式．

解答 解：（1）如图1，连接BE，
∵MN与⊙B相切，
∴BE⊥MN，
∴∠BEM=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∴∠BAD=∠BEM=90°，
∵AB=BE，BM=BM，
∴Rt△ABM≌Rt△EBM（HL），
∴∠ABM=∠EBM，
同理得：∠EBN=∠CBN，
∴∠EBM+∠EBN=∠ABM+∠CBN，
即∠MBN=∠ABM+∠CBN=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×90°=45°；
（2）如图2，将△ABM绕点B顺时针旋转90°得到△CBM′，
∴AM=CM′，BM=BM′，
∵∠BAM=∠BCD=∠BCM′=90°，
∴M′、C、D三点共线，
易证明△BMN≌△BM′N，
∴MN=NM′，
由（1）得：AM=ME，CN=EN，
∵S_{五边形MABCN}=S_△ABM+S_△BMN+S_△CBN=$\frac{1}{2}$AB•AM+$\frac{1}{2}$MN•BE+$\frac{1}{2}$BC•CN=$\frac{1}{2}$AB•2MN=$\frac{1}{2}$×4×2MN=4MN，
当4MN最小时，S_△DMN最大，
△DMN中，DM+DN+MN=DM+EM+EN+DN=AD+DC=8，
设DM=a，DN=b，
∴MN=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
∵DM+DN+MN=8，
∴a+b+$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=8，
8=$\sqrt{（a+b）^{2}}$+$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}+2ab}$+$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$≤$\sqrt{2（{a}^{2}+{b}^{2}）}$+$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=（$\sqrt{2}$+1）$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=（$\sqrt{2}$+1）MN，
∴MN≥$\frac{8}{\sqrt{2}+1}$=8（$\sqrt{2}$-1），
当a=b时，MN有最小值是8（$\sqrt{2}$-1），此时S_△DMN最大，△DMN是等腰直角三角形，
此时，S_△DMN=S_{正方形ABCD}-S_{五边形MABCN}=4²-4MN=16-4×8（$\sqrt{2}$-1）=48-32$\sqrt{2}$；
（3）如图1，∵AM∥BC，
∴△AMP∽CBP，
∴$\frac{AM}{CB}=\frac{PM}{PB}$=$\frac{x}{4}$，
∴$\frac{BM}{PB}=\frac{x+4}{4}$，
∴PB=$\frac{4BM}{x+4}$，
同理得：PC=$\frac{4AC}{x+4}$，
∵AC=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴PC=$\frac{4×4\sqrt{2}}{x+4}$=$\frac{16\sqrt{2}}{x+4}$，
∵∠PBQ=∠PCB=45°，∠BPQ=∠CPB，
∴△BPQ∽△CPB，
∴PB²=PQ•PC，
∴PQ=$\frac{P{B}^{2}}{PC}$=$\frac{（\frac{4BM}{x+4}）^{2}}{\frac{16\sqrt{2}}{x+4}}$=$\frac{\sqrt{2}B{M}^{2}}{2（4+x）}$=$\frac{\sqrt{2}（{x}^{2}+{4}^{2}）}{2（4+x）}$=$\frac{\sqrt{2}（{x}^{2}+16）}{8+2x}$；
即y=$\frac{\sqrt{2}（{x}^{2}+16）}{8+2x}$．

点评 本题是圆的综合题，考查了圆的切线的性质、正方形的性质、旋转的性质、三角形全等和相似的性质和判定、勾股定理等知识，本题有难度，尤其是第二问，与比例的性质相结合，利用五边形面积的最小值得到△DMN面积的最大值．