Question

如图，⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，O₂A切⊙O₁于点A，O₁O₂与AB交于点C，与⊙O₁交于点D．若AB=8，CD=2，则tan∠AO₂C=

 

．

Answer 1

考点：相交两圆的性质

专题：

分析：如图，作辅助线；证明O₁O₂⊥AB，AC=BC=4；O₁A⊥AO₂；根据射影定理列出关于λ、μ的方程组，求出λ、μ即可解决问题．

解答：解：如图，连接O₁A；
∵⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，且O₂A切⊙O₁于点A，
∴O₁O₂⊥AB，AC=BC=4；O₁A⊥AO₂；
设⊙O₁的半径为λ，则O₁C=λ-2；设O₂C=μ；
由射影定理得：

λ2=(λ-2)(λ-2+μ) 42=(λ-2)μ

，
解得：λ=5，μ=

16

3

，
∴tan∠AO₂C=

AC

O2C

=

3

4

，
故答案为

3

4

．

点评：该题以圆为载体，主要考查了相交两圆的性质、射影定理、正切三角函数的定义等几何知识点及其应用问题；深入观察图形，数形结合，准确找出图形中隐含的数量关系是解题的关键．