Question

如图，正方形ABCD的边长为1，AB、AD上各有一点P、Q，△APQ的周长为2，求∠PCQ．
为了解决这个问题，我们在正方形外以BC和AB延长线为边作△CBE，使得△CBE≌△CDQ（如图）
（1）△CBE可以看成由△CDQ怎样运动变化得到的？
（2）图中PQ与PE的长度有什么关系？为什么？
（3）请用（2）的结论证明△PCQ≌△PCE；
（4）根据以上三个问题的启发，求∠PCQ的度数．
（5）对于题目中的点Q，若Q恰好是AD的中点，求BP的长．

Answer 1

解：（1）△CBE可以看成是由△CDQ沿逆时针旋转90°得到的；

（2）∵△CBE≌△CDQ，正方形的边长为1，
∴AQ=1-DQ=1-BE，AP=1-BP，
又∵AP+AQ+PQ=2，
∴1-BE+1-BP+PQ=2，即2-PE+PQ=2，
∴PE=PQ；

（3）∵△CBE≌△CDQ，
∴QC=EC，
在△PCQ和△PCE中，

∴△PCQ≌△PCE（SSS）；

（4）∵△PCQ≌△PCE，
∴∠PCQ=∠PCE，
又∵∠BCE=∠QCD，
∴∠QCD+∠PCB=∠PCQ，
又∵∠DCB=90°，
∴∠PCQ=×90°=45°；

（5）若Q为AD中点，得到DQ=AQ=AD=，
∵△PCQ≌△PCE，∴BE=DQ=，
设BP=x，则AP=1-x，
∵△PCQ≌△PCE，∴QP=PE=PB+BE=x+，
在Rt△APQ中，根据勾股定理得：PQ²=AQ²+AP²，
即（x+）²=（）²+（1-x）²，
化简得：x²+x+=+1-2x+x²，即3x=1，解得x=，
则BP的长为．
分析：（1）△CBE可以看成是由△CDQ旋转得到的；
（2）由旋转可知△CEB≌△CDQ，根据全等三角形的对应边相等得到DQ=BE，由正方形的变成为1易知AQ=1-DQ=1-BE，AP=1-BP，又有△APQ的周长为2，可求出PQ=PE；
（3）由（2）得到的PQ=PE，由△CEB≌△CDQ得到一对对应边相等，再由CP为公共边，根据SSS判定△PCQ≌△PCE；
（4）利用△PCQ≌△PCE得出∠PCQ=∠PCE，又有∠BCE=∠QCD，得出∠PCQ的度数是∠DCB度数的一半，由∠DCB为直角即可求出∠PCQ的度数；
（5）由Q为AD的中点，根据正方形的边长为1，求出DQ与AQ的长，又△CEB≌△CDQ，得到BE=DQ，从而求出BE的长，再由△PCQ≌△PCE得到PE=PQ，设PB为x，用PB+BE表示出PE即为PQ的长，且表示出AP的长，在直角三角形APQ中，根据勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为BP的长．
点评：本题考查了图形的旋转、全等三角形的判定与性质、正方形的性质等知识．要求学生掌握图形的三种变换：平移、旋转、轴对称都只是改变图形的位置，不改变形状和大小，从而由旋转得到△CBE≌△CDQ，是本题的突破点，第四问利用转化的思想来求解，第五问在求BP长时，利用勾股定理列出方程，利用方程的思想来求解．