Question

4．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（　　）

• A． 2
• B． 8
• C． $\sqrt{13}$
• D． 2$\sqrt{13}$

Answer 1

分析 连结BE，设⊙O的半径为R，由OD⊥AB，根据垂径定理得AC=BC=$\frac{1}{2}$AB=4，在Rt△AOC中，OA=R，OC=R-CD=R-2，根据勾股定理得到（R-2）²+4²=R²，解得R=5，则OC=3，由于OC为△ABE的中位线，则BE=2OC=6，再根据圆周角定理得到∠ABE=90°，然后在Rt△BCE中利用勾股定理可计算出CE．

解答 解：连结BE，设⊙O的半径为R，如图，
∵OD⊥AB，
∴AC=BC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×8=4，
在Rt△AOC中，OA=R，OC=R-CD=R-2，
∵OC²+AC²=OA²，
∴（R-2）²+4²=R²，解得R=5，
∴OC=5-2=3，
∴BE=2OC=6，
∵AE为直径，
∴∠ABE=90°，
在Rt△BCE中，CE=$\sqrt{{BC}^{2}+{BE}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{13}$．
故选D．

点评 本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．