Question

如图，四边形ABCD是正方形，E是BC延长线上的一点，且AC=EC．
（1）求证：AE平分∠CAD；
（2）设AE交CD于点F，正方形ABCD的边长为1，求DF的长．（结果保留根号）

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴∠BCA=∠DAC=45°，
又∵AC=EC，
∴∠CAE=∠E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠E=∠DAF，
∴∠DAF=∠CAF，
∴AE平分∠CAD；

（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，∠D=∠DCE=90°，
∴AC==，
∴CE=AC=，
又∵∠AFD=∠EFC，
∴△AFD∽△EFC，
∴=，
∴=，
解得：DF=-1．
分析：（1）根据正方形的性质得出AD∥BC，TUIC∠DAE=∠E，根据等腰三角形性质得出∠E=∠CAE，推出∠DAF=∠CAF即可；
（2）求出AC，根据平相似三角形的判定推出△AFD∽△EFC，得出比例式，即可求出DF．
点评：本题考查了正方形性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理等知识点，解（1）的关键是求出∠E=∠DAF=∠CAF，解（2）的关键是得出关于DF的方程，题目比较典型，是一道比较好的题目．