Question

若关于x的方程x²-2mx+m+6=0的两实根为x₁，x₂，则y=（x₁-1）²+（x₂-1）²的取值范围是

1. A.
   
2. B.
   y≥8
3. C.
   y≥18
4. D.
   

Answer 1

C
分析：欲求y=（x₁-1）²+（x₂-1）²的取值范围，先把此代数式（x₁-1）²+（x₂-1）²变形为两根之积或两根之和的形式，再计算进行判断．
解答：∵方程有两实根
∴b²-4ac≥0
（2m）²-4×（m 6）≥0
m²-m-6≥0
解得m≤-2或m≥3，
∵x₁，x₂是方程x²-2mx+m+6=0的两实根，
∴x₁+x₂=2m，x₁•x₂=m+6，
又∵y=（x₁-1）²+（x₂-1）²=x₁²-2x₁+1+x₂²-2x₂+1=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂-2（x₁+x₂）+2=4m²-2（m+6）-4m+2=4m²-6m-10，
∵m≤-2或m≥3，
y=4m²-6m-10，
=（2m-5）（2m-2），
当m≤-2，y≥18，
当m≥3，y≥4，
解得y≥18，
故选：C．
点评：本题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．