Question

4．定义一种新运算“⊙”：
1⊙3=1×4+3=7，
3⊙（-1）=3×4+（-1）=11，
（-5）⊙3=（-5）×4+3=-17，
（-6）⊙（-2）=（-6）×4+（-2）=-26
…
观察上述各式，解答如下问题：
（1）请你猜想：a⊙b=4a+b；
（2）若a≠b，那么a⊙b≠b⊙a（填入“=”或“≠”）
（3）若（2x+5）⊙（1-2x）=20，求x的值；
（4）若a⊙（-2b）=2016，求（a-b）⊙（2a+b）的值．

Answer 1

分析 （1）根据所给的4个算式，猜想出a⊙b的值是多少即可．
（2）若a≠b，首先根据⊙的含义，分别求出a⊙b、b⊙a的值各是多少；然后比较大小即可．
（3）根据⊙的含义，以及（2x+5）⊙（1-2x）=20，求出x的值是多少即可．
（4）首先根据a⊙（-2b）=2016，求出2a-b的值是多少；然后应用代入法，求出（a-b）⊙（2a+b）的值是多少即可．

解答 解：（1）∵1⊙3=1×4+3=7，
3⊙（-1）=3×4+（-1）=11，
（-5）⊙3=（-5）×4+3=-17，
（-6）⊙（-2）=（-6）×4+（-2）=-26
…
∴a⊙b=4a+b．

（2）a⊙b=4a+b，b⊙a=4b+a，
∵a≠b，
∴（4a+b）-（4b+a）=3a-3b≠0，
∴若a≠b，那么a⊙b≠b⊙a．

（3）∵（2x+5）⊙（1-2x）=20
∴4（2x+5）+（1-2x）=20   
∴6x+21=20
解得：x=-$\frac{1}{6}$．

（4）∵a⊙（-2b）=4a-2b=2016，
∴2a-b=1008，
∴（a-b）⊙（2a+b）
=4（a-b）+（2a+b）   
=4a-4b+2a+b
=6a-3b
=3（2a-b）   
=3×1008
=3024
故答案为：4a+b、≠．

点评 此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．