Question

如图，已知AD∥BC，AC与BD相交于点O．
（1）找出图中面积相等的三角形，并选择其中一对说明理由；
（2）如果BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E、F，

AC

BD

=

4

5

，求

BE

CF

的值．

Answer 1

分析：（1）根据同底等高的三角形面积相等可得出面积相等的三角形，过A作AH₁⊥BC，DH₂⊥BC，垂足H₁、H₂，由平行线间的距离相等可知AH₁=DH₂，再由三角形的面积公式即可得出S_△ABC=S_△DBC；
（2）由BE⊥AC，CF⊥BD，S_△ABC=S_△DBC，再根据三角形的面积公式可知AC×BE=DB×CF，进而可得出结论．

解答：解：（1）△ABC与△DBC，△ADB与△ADC，△AOB与△DOC．
过A作AH₁⊥BC，DH₂⊥BC，垂足H₁、H₂，…（1分）
∵AD∥BC，（已知），
∴AH₁=DH₂（平行线间距离的意义）．…（1分）
∵S_△ABC=

1

2

BC×AH₁，S_△DBC=

1

2

BC×AH₂，（三角形面积公式），…（1分）
∴S_△ABC=S_△DBC．…（1分）

（2）∵BE⊥AC，CF⊥BD，（已知）
∴S_△ABC=

1

2

AC×BE，S_△DBC=

1

2

DB×CF（三角形面积公式）．…（1分）
∵S_△ABC=S_△DBC，
∴

1

2

AC×BE=

1

2

DB×CF．…（1分）
∴AC×BE=DB×CF，
∴

AC

BD

=

CF

BE

．
∵

AC

BD

=

4

5

，
∴

BE

CF

=

5

4

．…（1分）

点评：本题考查的是三角形的面积及平行线间的距离，解答此题的关键是熟知以下知识：
①同底等高的三角形面积相等；
②两平行线之间的距离相等．