如图.在平面直角坐标系中.已知Rt△AOB的两直角边OA.OB分别在x轴.y轴的正半轴上.且OA.OB的长分别是一元二次方程x2-14x+48=0的两个根．线段AB的垂直平分线CD交AB于点C.交x轴于点D.点P是直线CD上一个动点.点Q是直线AB上一个动点．(1)求A.B两点的坐标,(2)求直线CD的解析式,(3)在坐标平面内是否存在点M.使以点C.P.Q.M为顶点的四� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴、y轴的正半轴上（OA＜OB），且OA、OB的长分别是一元二次方程x²-14x+48=0的两个根．线段AB的垂直平分线CD交AB于点C，交x轴于点D，点P是直线CD上一个动点，点Q是直线AB上一个动点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求直线CD的解析式；
（3）在坐标平面内是否存在点M，使以点C、P、Q、M为顶点的四边形是正方形，且该正方形的边长为

AB长？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：一元二次方程的解,一次函数综合题,正方形的性质,相似三角形的判定

专题：综合题

分析：（1）利用因式分解法解方程x²-14x+48=0，求出x的值，即可得到A、B两点的坐标；
（2）先在Rt△AOB中利用勾股定理求出AB=

OA2+OB2

=10，根据线段垂直平分线的性质得到AC=

AB=5．再由两角对应相等的两三角形相似证明△ACD∽△AOB，由相似三角形对应边成比例得出

，求出AD=

，得到D点坐标（-

，0），根据中点坐标公式得出C（3，4），然后利用待定系数法即可求出直线CD的解析式；
（3）分两种情况进行讨论：①当点Q与点B重合时，先求出BM的解析式为y=

x+8，设M（x，

x+8），再根据BM=5列出方程（

x+8-8）²+x²=5²，解方程即可求出M的坐标；②当点Q与点A重合时，先求出AM的解析式为y=

，设M（x，

），再根据AM=5列出方程（

）²+（x-6）²=5²，解方程即可求出M的坐标．

解答：解：（1）解方程x²-14x+48=0，
得x₁=6，x₂=8，
∵OA＜OB，
∴A（6，0），B（0，8）；

（2）在Rt△AOB中，∵∠AOB=90°，OA=6，OB=8，
∴AB=

OA2+OB2

=10，
∵线段AB的垂直平分线CD交AB于点C，
∴AC=

AB=5．
在△ACD与△AOB中，

∠CAD=∠OAB

∠ACD=∠AOB=90°

，
∴△ACD∽△AOB，
∴

，即

，
解得AD=

，
∵A（6，0），点D在x轴上，
∴D（-

，0）．
设直线CD的解析式为y=kx+b，
由题意知C为AB中点，
∴C（3，4），
∵D（-

，0），
∴

3k+b=4

k+b=0

，解得

，
∴直线CD的解析式为y=

；

（3）在坐标平面内存在点M，使以点C、P、Q、M为顶点的四边形是正方形，且该正方形的边长为

AB长．
∵AC=BC=

AB=5，
∴以点C、P、Q、M为顶点的正方形的边长为5，且点Q与点B或点A重合．分两种情况：
①当点Q与点B重合时，易求BM的解析式为y=

x+8，设M（x，

x+8），
∵B（0，8），BM=5，
∴（

x+8-8）²+x²=5²，
化简整理，得x²=16，
解得x=±4，
∴M₁（4，11），M₂（-4，5）；
②当点Q与点A重合时，易求AM的解析式为y=

，设M（x，

），
∵A（6，0），AM=5，
∴（

）²+（x-6）²=5²，
化简整理，得x²-12x+20=0，
解得x₁=2，x₂=10，
∴M₃（2，-3），M₄（10，3）；
综上所述，所求点M的坐标为M₁（4，11），M₂（-4，5），M₃（2，-3），M₄（10，3）．

点评：本题是一次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求一次函数的解析式，一元二次方程的解法，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，综合性较强，难度适中．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．

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