Question

如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以OB为直径画圆M，过D作⊙M的切线，切点为N，分别交AC，BC于点E，F，已知AE=5，CE=3，则DF的长是________．

Answer 1

4.8
分析：延长EF，过B作直线平行AC和EF相交于P，先根据菱形的对角线互相平分得出OE=1，利用△DMN∽△DEO及MN=DM，得出DE的长，进而利用中位线定理得出EP的长，再由△EFC∽△PFB，相似比是3：2，可得出EF的长，从而根据DF=DE+EF可求出DF的长度．
解答：解：延长EF，过B作直线平行AC和EF相交于P，
∵AE=5，EC=3，
∴AO=CE+OE，即有，OE=EN=1，
又∵△DMN∽△DEO，且MN=DM，
∴DE=3OE=3，
又∵OE∥BP，O是DB中点，所以E也是中点，
∴EP=DE=3，
∴BP=2，
又∵△EFC∽△PFB，相似比是3：2，
∴EF=EP×=1.8，
故可得DF=DE+EF=3+1.8=4.8．
故答案为：4.8．
点评：此题考查了菱形的性质、相似三角形的判定及性质，及切线的性质，综合性较强，解答本题的关键是正确地作出辅助线，求出OE、DE的长，进而综合利用三角形的中位线定理求出EP，难度较大．