Question

（2013•静安区二模）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，对角线AC、BD相交于点E，BD⊥CD，AB=12，cot∠ADB=

4

3

．
求：（1）∠DBC的余弦值；
（2）DE的长．

Answer 1

分析：（1）根据cot∠ADB=

4

3

，可求出AD的长度，在Rt△ABD中利用勾股定理求出BD，继而可得出∠DBC的余弦值；
（2）在Rt△BDC中，由（1）的答案可求出BC的长度，再由平行线分线段成比例的知识可求出DE的长．

解答：解：（1）∵Rt△ABD中，cot∠ADB=

AD

AB

，
∴

4

3

=

AD

12

，
则AD=16，
∴BD=

AB2+AD2

=

122+162

=20，
∵AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB，
∴cos∠DBC=cos∠ADB=

AD

BD

=

16

20

=

4

5

；
（2）在Rt△BCD中，cos∠DBC=

BD

BC

，
即

4

5

=

20

BC

，
解得：BC=25，
∵AD∥BC，
∴

DE

BE

=

AD

BC

=

16

25

，
∴

DE

BD

=

16

41

，
∴DE=

16

41

×BD=

16

41

×20=

320

41

．

点评：本题考查了梯形、勾股定理及平行线分线段成比例的知识，解答本题的关键是熟练掌握解直角三角形的方法，能正确表示角的三角函数．