【题目】如图,抛物线y=x2+3与x轴交于点A,点B,与直线y=x+b相交于点B,点C,直线y=x+b与y轴交于点E.
(1)写出直线BC的解析式.
(2)求△ABC的面积.
(3)若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从A向B运动(不与A,B重合),同时,点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从B向C运动.设运动时间为t秒,请写出△MNB的面积S与t的函数关系式,并求出点M运动多少时间时,△MNB的面积最大,最大面积是多少?
【答案】(1)BC的解析式为y=x+;
(2)×4×=
(3)当点M运动2秒时,△MNB的面积达到最大,最大为.
【解析】
试题分析:(1)令y=0代入y=-x2+3求出点A,B的坐标.把B点坐标代入y=-x+b求出BC的解析式.
(2)联立方程组求出B.C的坐标.求出AB,CD的长后可求出三角形ABC的面积.
(3)过N点作NP⊥MB,证明△BNP∽△BEO,由已知令y=0求出点E的坐标,利用线段比求出NP,BE的长.求出S与t的函数关系式后利用二次函数的性质求出S的最大值.
试题解析:(1)在y=-x2+3中,令y=0,∴-x2+3=0,∴x1=2,x2=﹣2
∴A(﹣2,0),B(2,0),又点B在y=-x+b上,∴0=-+b,b=
∴BC的解析式为y=-x+.由,得,.
∴C(-1,),B(2,0),∴AB=4,CD=,
∴×4×=.过点N作NP⊥MB于点P,∵EO⊥MB,∴NP∥EO
∴△BNP∽△BEO,∴.由直线y=-x+可得:E(0,)
∴在△BEO中,BO=2,EO=,则BE=,∴,∴NP=t,∴S=.t.(4﹣t)=﹣t2+t(0<t<4)=﹣(t﹣2)2+
∵此抛物线开口向下,
∴当t=2时,S最大=,∴当点M运动2秒时,△MNB的面积达到最大,最大为.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知:如图一,抛物线y=ax2+bx+c与x轴正半轴交于A、B两点,与y轴交于点C,直线y=x﹣2经过A、C两点,且AB=2.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若直线DE平行于x轴并从C点开始以每秒1个单位的速度沿y轴正方向平移,且分别交y轴、线段BC于点E,D,同时动点P从点B出发,沿BO方向以每秒2个单位速度运动,(如图2);当点P运动到原点O时,直线DE与点P都停止运动,连DP,若点P运动时间为t秒;设s=,当t为何值时,s有最小值,并求出最小值.
(3)在(2)的条件下,是否存在t的值,使以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似;若存在,求t的值;若不存在,请说明理由.
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