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【题目】如图,抛物线y=x2+3与x轴交于点A,点B,与直线y=x+b相交于点B,点C,直线y=x+b与y轴交于点E.

(1)写出直线BC的解析式.

(2)求ABC的面积.

(3)若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从A向B运动(不与A,B重合),同时,点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从B向C运动.设运动时间为t秒,请写出MNB的面积S与t的函数关系式,并求出点M运动多少时间时,MNB的面积最大,最大面积是多少?

【答案】(1)BC的解析式为y=x+

(2)×4×=

(3)当点M运动2秒时,MNB的面积达到最大,最大为

【解析】

试题分析:(1)令y=0代入y=-x2+3求出点A,B的坐标.把B点坐标代入y=-x+b求出BC的解析式.

(2)联立方程组求出B.C的坐标.求出AB,CD的长后可求出三角形ABC的面积.

(3)过N点作NPMB,证明BNP∽△BEO,由已知令y=0求出点E的坐标,利用线段比求出NP,BE的长.求出S与t的函数关系式后利用二次函数的性质求出S的最大值.

试题解析:(1)在y=-x2+3中,令y=0,-x2+3=0,x1=2,x2=2

A(2,0),B(2,0),又点B在y=-x+b上,0=-+b,b=

BC的解析式为y=-x+.由,得

C(-1,),B(2,0),AB=4,CD=

×4×=.过点N作NPMB于点P,EOMB,NPEO

∴△BNP∽△BEO,.由直线y=-x+可得:E(0,)

BEO中,BO=2,EO=,则BE=NP=t,S=.t.(4t)=t2+t(0<t<4)=(t2)2+

此抛物线开口向下,

当t=2时,S最大=当点M运动2秒时,MNB的面积达到最大,最大为

练习册系列答案
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(1)求抛物线的解析式;

(2)若直线DE平行于x轴并从C点开始以每秒1个单位的速度沿y轴正方向平移,且分别交y轴、线段BC于点E,D,同时动点P从点B出发,沿BO方向以每秒2个单位速度运动,(如图2);当点P运动到原点O时,直线DE与点P都停止运动,连DP,若点P运动时间为t秒;设s=,当t为何值时,s有最小值,并求出最小值.

(3)在(2)的条件下,是否存在t的值,使以P、B、D为顶点的三角形与ABC相似;若存在,求t的值;若不存在,请说明理由.

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