Question

18．如图，在四边形ABCD中，∠D=90°，AC平分∠DAB，且点C在以AB为直径的⊙O上．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）点E是⊙O上一点，连接BE，CE．若∠BCE=42°，cos∠DAC=$\frac{9}{10}$，AC=m，写出求线段CE长的思路．

Answer 1

分析 （1）连接OC，如图1中．只要证明OC∥AD，由AD⊥CD，即可证明OC⊥CD解决问题．
（2）过点B作BF⊥CE于F，如图2中．①在Rt△ACB中，根据BC=AC•tan∠CAB，求出BC．②在Rt△CFB中，由∠BCF=42°及BC的长，可求CF，BF的长；③在Rt△EFB中，由∠E的三角函数值及BF的长，可EF的长；④由CE=CF+EF，可求CE的长．

解答 （1）证明：连接OC，如图1中．

∵AC平分∠DAB，
∴∠1=∠2，
∵OA=OC，
∴∠3=∠2，
∴∠3=∠1，
∴AD∥OC，
∴∠OCD=∠D=90°，
又∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．

（2）求解思路如下：
过点B作BF⊥CE于F，如图．

①在Rt△ACB中，根据BC=AC•tan∠CAB，求出BC．
②在Rt△CFB中，由∠BCF=42°及BC的长，可求CF，BF的长；
③在Rt△EFB中，由∠E的三角函数值及BF的长，可EF的长；
④由CE=CF+EF，可求CE的长．

点评 本题考查切线的判定、勾股定理、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用锐角三角函数解决问题，属于中考常考题型．