Question

如图，已知直角坐标系中四点A（-2，4）、B（-2，0）、C（2，-3）、D（2，0）．若点P在x轴上，且PA、PB、AB所围成的三角形与PC、PD、CD所围成的三角形相似，则所有符合上述条件的点P的个数是（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3 个
• D、4个

Answer 1

考点：相似三角形的判定,坐标与图形性质

专题：

分析：此题需要分情况分析，当点P在AB左边，在AB与CD之间，在CD的右边，通过相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例即可求得．

解答：解：设OP=x（x＞0），分三种情况：
一、若点P在AB的左边，如图1，有两种可能：
①此时△ABP∽△PDC，则PB：CD=AB：PD，
则（x-2）：3=4：（x+2）
解得x=4，
∴点P的坐标为（-4，0）；
②若△ABP∽△CDP，则AB：CD=PB：PD，
则（x-2）：（x+2）=4：3
解得：x=-14
不存在．

二、若点P在AB与CD之间，如图2，有两种可能：
①若△ABP∽△CDP，则AB：CD=BP：PD，
∴4：3=（x+2）：（2-x）
解得：x=

2

7

，
∴点P的坐标为（

2

7

，0）；
②若△ABP∽△PDC，则AB：PD=BP：CD，
∴4：（2-x）=（x+2）：3，
方程无解；

三、若点P在CD的右边，如图3，有两种可能：
①若△ABP∽△CDP，则AB：CD=BP：PD，
∴4：3=（2+x）：（x-2），
∴x=14，
∴点P的坐标为（14，0），
②若△ABP∽△PDC，则AB：PD=BP：CD，
∴4：（x-2）=（x+2）：3，
∴x=4，
∴点P的坐标为（4，0）；
∴点P的坐标为（

2

7

，0）、（14，0）、（4，0）、（-4，0）．
故选：D．

点评：此题考查相似三角形的性质．解题的关键是数形结合思想的应用．注意分类讨论，小心别漏解．