Question

如图，矩形OABC的边OA在x轴上，OC边在y轴上，OA=8，OC=6，过点C与对角线OB垂直的直线l，交x轴于P，
（1）求直线l的解析式及P点的坐标；
（2）若点P沿x轴的正方向以1单位/s的速度移动，直线l也随之移动，且l∥OB，设直线分矩形部分面积为y，求y与P点移动时间x的函数关系式；
（3）若点P在（2）的情况下移动的同时，直线l上有一点M，从P点出发以1单位/s的速度沿直线l向上移动，求以M为圆心，半径为1的圆与矩形四条边所在直线相切的时间x的值．

Answer 1

解：（1）B的坐标是（8，6），
设直线L的解析式是y=kx，则6=8k，解得：k=，
则直线OB的解析式是y=x，
则直线l的一次项系数是：-，设直线l的解析式是y=-x+b，
把C的坐标（0，6）代入解析式得：6=b，
则l的解析式是：y=-x+6，设y=0，解得：x=，则P的坐标是（，0）；
（2）当P在A或A的左边时，即0≤x≤时：
点P沿x轴的正方向以1单位/s的速度移动，x秒后到F点，则FA=8--x=，设直线l与BC的交点是E，则BE=8-x，四边形ABEP是直角梯形，
则y=（AP+BE）•AB=（+8-x）×6=-6x+；

当＜x≤8时，设直线l与AB交于点M，与BC交于点N．交x轴与Q．
则AQ=x-，
△OPC∽△AQM，
则，则AM=，BM=6-=，
BN=x，
则y=BN•BM=x×=．

当x＞8是，直线l与矩形不相交．

（3）在直角△OPC中，PC==，
设M点运动x秒，则M的横坐标是：+x，
M的纵坐标是：x，则M的坐标是：（+x，x），
当圆与OA相切时：x=1，解得：x=；
当圆与OC相切时，+x=1，解得：x=-，（舍去）；
当圆与AB相切时：8-（+x）=1或（+x）-8=1，解得：x=或；
当圆与BC相切时，6-x=1或x-6=1，解得：x=或．
分析：（1）首先求得OB的解析式，根据直线l与OB垂直，即可求得直线l的解析式的一次项系数，再根据待定系数法即可求得直线l的解析式，求得P的坐标；
（2）分当P在A或A的左边时，即0≤x≤或当＜x≤8以及x＞8三种情况进行讨论，分别利用直角梯形的面积公式，以及直角三角形的面积公式即可求得函数解析式；
（3）首先利用时间x表示出M的坐标，然后根据圆与直线相交的条件：圆心到直线的距离等于圆的半径，分情况进行讨论，即可求得x的值．
点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式，直线与圆的位置关系，正确求得M的坐标是关键．