Question

在△ABC和△EDC中，∠ACB=∠ECD=90°，BC=k•AC，CD=k•CE．
（1）如图1，当k=1时，AE与BD的数量关系是：________，位置关系是：________；
（2）如图2，当k≠1时，请探索AE与BD的关系，并证明；
（3）如图3，在（2）的条件下，分别在BD、AE上取点M、N，使得BD=m•MD，AE=m•NE，试探索CN与CM的关系，并证明．

Answer 1

解：（1）当k=1时，BC=AC，CD=CE．
在△ACE与△BCD中，
∠BCD+∠BCE=∠ACE+∠BCE=90°，
∴∠BCD=∠ACE，
BC=AC，CD=CE，
∴△ACE≌△BCD（SAS）；
∴AE=BD（对应边相等），
∠CAE=∠CBD（对应角相等）；
延长AE交BD于点G．
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°；
在△ABG中，
∠ABG+∠BAG=∠ABC+∠BAG+∠CBD=∠ABC+∠BAC=90°，
∴∠AGB=90°，
∴AG⊥BD，即AE⊥BD；

（2）当k≠1时，BC=k•AC，CD=k•CE．
在△ACE与△BCD中，
∠BCD+∠BCE=∠ACE+∠BCE=90°，
∴∠BCD=∠ACE，
==k，
∴△ACE∽△BCD（SAS）；
∴∠CAE=∠CBD（对应角相等）；
延长AE交BD于点G．
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°；
在△ABG中，
∠ABG+∠BAG=∠ABC+∠BAG+∠CBD=∠ABC+∠BAC=90°，
∴∠AGB=90°，
∴AG⊥BD，即AE⊥BD；

（3）CN⊥CM．
证明：∵△ACE∽△BCD（SAS），
∴∠CDB=∠CEA（相似三角形的对应角相等），
∴=（相似三角形的对应边成比例）；
又∵BD=m•MD，AE=m•NE，
∴=，
∴=；
在△CNE和△CMD中，
=，∠CDB=∠CEA，
∴△CNE∽△CMD（SAS），
∴∠MCD=∠NCE；
∴∠BCM=∠ACN，
∴∠NCM=∠BCN+∠ACE=∠ACB=90°，即∠NCM=90°，
∴CN⊥CM．
分析：（1）取k=1时，BC=AC，CD=CE．由∠BCD+∠BCE=∠ACE+∠BCE=90°，得知∠BCD=∠ACE，从而证明△ACE≌△BCD（SAS）；然后根据全等三角形的对应变相等，对应角相等求得AE=BD，∠CAE=∠CBD；最后延长AE交BD于点G构建三角形ABG，根据三角形的内角和求得∠AGB=90°，即AE⊥BD；
（2）当k≠1时，BC=k•AC，CD=k•CE．求得==k，由∠BCD+∠BCE=∠ACE+∠BCE=90°，得知∠BCD=∠ACE，从而证明△ACE∽△BCD（SAS）；然后根据相似三角形的对应变相等，对应角相等求得AE=BD，∠CAE=∠CBD；最后延长AE交BD于点G构建三角形ABG，根据三角形的内角和求得∠AGB=90°，即AE⊥BD；
（3）在（2）的基础上，求得△ACE∽△BCD，又BD=m•MD，AE=m•NE，所以=，∠CDB=∠CEA，从而证明△CNE∽△CMD（SAS），然后根据相似三角形的对应角相等求得∠BCM=∠ACN，所以∠NCM=∠BCN+∠ACE=∠ACB=90°，即∠NCM=90°．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质．解答此题时，关键是根据全等三角形或相似三角形的对应角相等求得∠AGB=90°，∠NCM=90°．从而证明AE⊥BD，CN⊥CM．