Question

．已知：在平面直角坐标系中，抛物线（）交轴于A、B两点，交轴于点C，且对称轴为直线．

（1）求该抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）若点P（0，t）是轴上的一个动点，请进行如下探究：

探究一：如图1，设△PAD的面积为S，令W＝t?S，当0＜t＜4时，W是否有最大值？如果有，求出W的最大值和此时t的值；如果没有，说明理由；

探究二：如图2，是否存在以P、A、D为顶点的三角形与Rt△AOC相似？如果存在，求点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

（参考资料：抛物线对称轴是直线）

 

Answer 1

解：（1）∵抛物线（）的对称轴为直线．

∴，∴，

∴．

∴．

（2）探究一：当时，有最大值．

∵抛物线交轴于两点，交轴于点，

∴，，，

∴．

当时，作轴于，

则．

∵，

∴．

∵

       

       

       

∴

∴当时，有最大值，．

探究二：

 

存在．分三种情况：

①当时，作轴于，则，

∴．

∴，，

∴．

∵轴，轴，

∴，∴，

∴．

∴，．

此时，又因为，

∴，∴，∴．

∴当时，存在点，使，

此时点的坐标为（0，2）．

②当时，则，

 

∴，∴．

∵，∴．

∴与不相似，此时点不存在．

③当时，以为直径作，则的半径，

圆心到轴的距离．∵，∴与轴相离．

不存在点，使．

∴综上所述，只存在一点使与相似．