练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    （1）如图1，矩形ABCD，点C与坐标原点O重合，点A在x轴上，点B坐标为（3，
    		3
    ），求经过A、B、C三点抛物线的解析式；
    （2）如图2，抛物线E：y=-
    1
    2
    x2+bx+c    经过坐标原点O，其顶点在y轴左侧，以O为顶点作矩形OADC，A、C为抛物线E上两点，若AC∥x轴，AD=2CD，则抛物线的解析式是
     
    ；
    （3）如图3，点A、B、C分别为抛物线F：y=ax2+bx+c（a＜0）上的点，点B在对称轴右侧，点D在抛物线外，顺次连接A、B、C、D四点，所成四边形为矩形，且AC∥x轴，AD=2CD，求矩形ABCD的周长（用含a的式子表示）．
    精英家教网
    分析：（1）首先过点B作BH⊥AO于H，由三角函数的知识，即可求得∠AOB的度数，又由四边形ABCD是矩形，即可求得点A的坐标，又因为抛物线过原点，可设抛物线解析式为y=ax2+bx，利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；
    （2）根据矩形与三角函数的知识，即可求得点A与C的坐标分别为（-
    1
    2
    y，y）与（2y，y），又由抛物线过原点，求得c=0，将点A与C的坐标代入解析式即可求得b的值，则可求得抛物线的解析式；
    （3）首先作辅助线：过点B作BH⊥AO于H，令顶点为P，作抛物线对称轴PQ交AC于点M，过B作BN⊥PQ于N，由三角函数的知识求得
    AB
    BC
    =
    CD
    AD
    =
    1
    2
    ，则可令AH=t，将BH，CH，AB，BC用t表示出来，代入函数解析式即可求得t的值，则问题得解．
    解答：精英家教网解：（1）过点B作BH⊥AO于H，
    则OH=3，BH=
    		3
    ，
    ∴tan∠AOB=
    		3
    3
    ，
    ∴∠AOB=30°，
    ∵四边形ABCD是矩形，
    ∴∠ABO=90°，
    ∴∠BAO=60°，
    ∴tan∠BAO=
    BH
    AH
    =
    		3
    ，
    ∴AH=1，
    ∴A（4，0），
    ∵抛物线过原点，设抛物线解析式为y=ax2+bx，
    则
    16a+4b=0
    9a+3b=
    		3
    ，∴
    a=-
    		3
    3
    b=
    4
    		3
    3
    ，
    ∴此抛物线的解析式为：y=-
    		3
    3
    x2+
    4
    		3
    3
    x；

    （2）∵四边形AOCD是矩形，精英家教网
    ∴∠AOC=∠D=90°，OC∥AD，
    ∴∠ACO=∠CAD，
    ∵AC∥x轴，
    ∴∠OEC=90°，
    ∴∠AOE+∠COE=∠COE+∠OCA=90°，
    ∴∠AOE=∠ACO=∠CAD，
    在Rt△ACD中，tan∠CAD=
    CD
    AD
    ，
    ∵AD=2CD，
    ∴tan∠ACO=tan∠AOE=tan∠CAD=
    1
    2
    ，
    ∵点A与C的纵坐标相同，
    ∴可设点A的坐标为（-
    1
    2
    y，y），点C的坐标为（2y，y），
    ∵抛物线过原点，
    ∴c=0，
    ∴抛物线解析式为：y=-
    1
    2
    x2+bx，
    将点A与C的坐标代入抛物线的解析式得：
    -
    1
    8
    y2-
    1
    2
    by=y
    -2y2+2by=y
    ，
    解得：b=-
    3
    2
    ，
    ∴此抛物线的解析式为：y=-
    1
    2
    x2-
    3
    2
    x；

    （3）过点B作BH⊥AO于H，令顶点为P，
    作抛物线对称轴PQ交AC于点M，
    过B作BN⊥PQ于N，
    ∴∠BHC=∠BHA=90°，
    ∵∠ABC=90°，
    ∴tan∠ABH=tan∠ACB=
    AB
    BC
    =
    CD
    AD
    =
    1
    2
    ，
    令AH=t，则BH=2t，CH=4t，精英家教网
    AB=
    		5
    t，BC=2
    		5
    t，
    设y=ax2+bx+c=a（x-h）2+k，PN=n，
    则A（h+
    5
    2
    t    ，k-n-2t），B（h+
    3
    2
    t    ，k-n），
    ∴
    k-n-2t=a(h+
    5
    2
    t-h)2+k
    k-n=a(h+
    3
    2
    t-k)2+k
    ，
    ∴t1=0（舍去），t2=-
    1
    2a
    ，
    ∴AB=-
    		5
    2a
    ，BC=-
    		5
    a
    ，
    ∴矩形ABCD的周长为-
    3
    		5
    a
    ．
    点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，矩形的性质，三角函数的应用以及求四边形的周长等知识．此题综合性很强，难度较大，注意数形结合与方程思想的应用．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    动手操作：如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动．
    求：（1）当点Q与点D重合时，A′C的长是多少？
    （2）点A′在BC边上可移动的最大距离是多少？

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，将矩形纸片ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E．
    （1）求证：△AEC是等腰三角形；
    （2）若P为线段AC上一动点，作PG⊥AB′于G、PH⊥DC于H，求证：PG+PH=AD．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在矩形ABCD中，M是CD中点，AB=8，AD=3．
    （1）求AM的长；
    （2）△MAB是直角三角形吗？为什么？

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在矩形ABCD中，已知AB=1，BC=2，∠ABC的平分线交AD于点F，E为BC的中点，连接EF．
    （1）求BF的长度；
    （2）求证：四边形ABEF是正方形；
    （3）设点P是线段BF上的一个动点，点N是矩形ABCD的对称中心，是否存在点P，使∠APN=90°？若存在，请直接写出BP的长度；若不存在请说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在矩形ABCD中，A（-4，1），B（0，1），C（0，3），则D点坐标为
    （-4，3）
    （-4，3）
    ，矩形ABCD的面积为
    8
    8
    ．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案