Question

已知y关于x的二次函数y=-2x²+（k-2）x+6，当x≥1时，y随着x的增大而减小，当x≤1时，y随着x的增大而增大．
（1）求k的值；
（2）求出这个函数的最大值或最小值，并说出取得最大值或最小值时相应的自变量的值；
（3）写出当y＞0时相应的x的取值范围．

Answer 1

解：（1）依题意可知，抛物线对称轴为x=1，
即，解得k=6；
（2）当k=6时，y=-2x²+4x+6=-2（x-1）²+8，
故当x=1时，y的最大值是8；
（3）当y=0时，-2x²+4x+6=0，解得x=-1或3，
故当-1＜x＜3时，y＞0．
分析：（1）根据二次函数的增减性可知，对称轴x=1，再根据对称轴公式求k的值；
（2）将抛物线解析式的一般式转化为顶点式，可确定抛物线的顶点坐标，从而得出最大（小）值；
（3）令y=0，求出x的值，再求当y＞0时相应的x的取值范围．
点评：本题考查了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标与抛物线解析式的关系，抛物线的顶点式：y=a（x-h）²+k，顶点坐标为（h，k），对称轴x=h．同时考查了用抛物线与x轴的交点坐标，判断函数值的符号的方法．