Question

函数y=

4

x

和y=

1

x

在第一象限内的图象如图所示，点P是y=

4

x

图象上的一动点，PC⊥x轴于点C，交y=

1

x

的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y=

1

x

的图象于点B．给出如下结论：①PA与PB始终相等；②四边形OAPB的面积为3；③PA=3AC；④AB∥CD．其中正确的结论是

②③④

．（把你认为正确的结论的序号都填上）

Answer 1

分析：首先连接OP，由反比例函数的几何意义，即可求得各三角形的面积以及四边形OAPB、矩形OCPD的面积，然后由三角形的面积求得PA=3AC，PB=3BD，继而证得AB∥CD．

解答：解：连接OP，
①根据题意得：S_△OBD=S_△OAC=

1

2

，S_△OPD=S_△OPC=

4

2

=2，
∴S_△OBP=S_△OAP=2-

1

2

=

3

2

，
∴

1

2

PB•OD=

1

2

PA•OC=

3

2

，
∴当OD=OC，即点P的横纵坐标相等时，PA与PB始终相等；
故①错误；
②S_{四边形OAPB}=S_矩形OCPD-S_△OBD-S_△OAC=4-

1

2

-

1

2

=3；
故②正确；
③∵S_△OPA：S_△OAC=

3

2

：

1

2

=3：1，
∴（

1

2

PA•OC）：（

1

2

AC•OC）=3：1，
∴PA：AC=3，
∴PA=3AC；
故③正确；
④同理：PB：BD=3，
∴PA：AC=PB：BD，
∴AB∥CD．
故④正确．
故答案为：②③④．

点评：此题考查了反比例函数的几何意义、三角形的面积以及四边形的面积．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．