Question

17．如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E．己知AC=6，cosA=$\frac{3}{5}$．
（1）求线段CD的长；
（2）求cos∠DBE的值．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ABC中，先根据三角函数求出AB、AC的长，再根据根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出CD的长；
（2）过C点作CF⊥AB于F，求出DF的长，再根据余弦的定义即可求解．

解答 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴cosA=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{3}{5}$，
设AC=3k，则AB=5k，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=4k，
∵AC=6，
∴3k=6，k=2，
∴AB=10，
∵D是边AB的中点，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB=5；
（2）过C点作CF⊥AB于F．
CF=AC•BC÷AB=4.8，
cos∠DCF=$\frac{CF}{CD}=\frac{4.8}{5}=\frac{24}{25}$．
∵∠DCF=∠DBE，
∴cos∠DBE=$\frac{24}{25}$．

点评 本题考查了解直角三角形，涉及的知识点有：三角函数，直角三角形的性质，本题难度适中．