Question

在△ABC，∠C=90°，斜边AB=10，直角边AC、BC的长是关于x的方程x²-mx+3m+6=0的两个实数根．
（1）求m的值；
（2）计算sinA+sinB+sinA•sinB．

Answer 1

分析：（1）Rt△ABC中，AB²=AC²+BC²=（AC+BC）²-2AC×BC，再将二次方程的系数代入求得m值；
（2）将sinA+sinB+sinA•sinB用△ABC的边表示，化为两边之和，两边之积，将二次方程的系数代入求得结果．

解答：解：（1）如图，设AC=x₁，BC=x₂，
由题意，得
x₁+x₂=m＞0，x₁x₂=3m+6＞0．
在Rt△ABC中，AC²+BC²=100，
即x₁²+x₂²=100，
（x₁+x₂）²-2x₁x₂=100．
m²-6m-112=0．
解得m₁=14，m₂=-8（舍去）．
∴m=14．

（2）sinA+sinB+sinAsinB=

x2

10

+

x1

10

+

x2

10

×

x1

10

=

x1+x2

10

+

x1x2

100

由x₁+x₂=m=14，x₁x₂=3m+6=3×14+6=48得：

x1+x2

10

+

x1x2

100

=

14

10

+

48

100

=

47

25

．

点评：本题考查的是根与系数的关系，即两根之和、两根之积与二次方程系数的关系，同学们应灵活运用．