Question

如图，扇形DEF的圆心角∠FDE=90°点D（d，0）在点E的左侧，d为大于0的实数，直线y=x与交于点M，OM=2（O是坐标原点），以直线DF为对称轴的抛物线y=x²+px+q与x轴交于点E，
（1）求点E的坐标；
（2）抛物线y=x²+px+q与x轴的交点有可能都在原点的右侧吗？请说明理由；
（3）设抛物线y=x²+px+q的顶点到x轴的距离为h，求h的取值范围．

Answer 1

解：（1）过M作MH⊥x轴于H，连接DM，设M（a，b）；
由于d＞0，所以E在x正半轴上，扇形OEF在第一、四象限；
而直线y=x经过一、三象限，故点M在第一象限；
∴a＞0，b＞0，OH=a，MH=b；
由于M在直线y=x上，
故b=a，而OM=2，即：
（a）²+a²=4，
解得a=1，b=，
即M（1，）；
∴DM==，
∴OE=+d，
故E（+d，0）．

（2）设抛物线与x轴的另一个交点为N；
已知直线DF是抛物线的对称轴，则d=-，即p=-2d；
将点E坐标代入抛物线的解析式中，得：
（+d）²-2d（+d）+q=0，
整理得：q=2d-4；
即抛物线的解析式为：y=x²-2dx+2d-4；
∵DH=1-d≥0，故0＜d≤1，
∴x₁x₂=q=2d-4＜0，
即x₁、x₂异号，
所以抛物线于x轴两个交点不可能都在原点右侧．

（3）由y=x²-2dx+2d-4=（x-d）²-d²+2d-4，得：
抛物线的顶点坐标为：（d，-d²+2d-4），
又h=|-d²+2d-4|=（d-1）²+3≥3＞0，
∴h=d²-2d+4为关于d的二次函数；
在0＜d≤1的范围内，h随d的增大而减小，
∴3≤h＜4．
分析：（1）首先根据d的取值范围和直线OM的函数图象确定点M所在的象限，然后设出点M的坐标，利用OM的长和直线OM的解析式，求出点M的坐标，进而可由勾股定理求出DM的长，由于DM、DE都是扇形DEF的半径，因此DM=DE，即可求得DE的值，从而得到点E的坐标．
（2）根据抛物线的对称轴为DF，可用d表示出p的值，然后将E点坐标代入抛物线的解析式中，可用d表示出q的值，进而可得到抛物线的解析式；设抛物线与x轴的两交点的横坐标为x₁、x₂，由韦达定理可得x₁x₂的表达式，然后根据d的取值范围来判断x₁x₂的符号，若x₁x₂大于0，则说明两个交点有可能都在原点右侧，反之则不能．
（3）首先求出抛物线的顶点坐标，用含d的式子表示出h，即可得关于h、d的函数关系式，结合d的取值范围和函数的性质，即可得到h的取值范围．
点评：此题考查了勾股定理、根与系数的关系、二次函数解析式的确定、二次函数的增减性等知识，综合性强，难度较大．