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    如图1，已知抛物线的顶点为A(O，1)，矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在轴上，CF交y轴于点B(0，2)，且其面积为8．

    (1)求此抛物线的解析式；

    (2)如图2，若P点为抛物线上不同于A的一点，连结PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作轴的垂线，垂足分别为S、R．

    ①求证：PB＝PS；

    ②判断△SBR的形状；

    ③试探索在线段SR上是否存在点M，使得以点P、S、M为顶点的三角形和以点Q、R、M为顶点的三角形相似，若存在，请找出M点的位置；若不存在，请说明理由．

     

     

     

     

     

    ⑴解：方法一：

    ∵B点坐标为(0．2)，

    ∴OB＝2，

    ∵矩形CDEF面积为8，

    ∴CF=4.

    ∴C点坐标为(一2，2)．F点坐标为(2，2)。

    设抛物线的解析式为．

    其过三点A(0，1)，C(-2．2)，F(2，2)。

    得

    解这个方程组，得

    ∴此抛物线的解析式为    …………    (3分)

    方法二：

     ∵B点坐标为(0．2)，

    ∴OB＝2，

    ∵矩形CDEF面积为8，

    ∴CF=4.

    ∴C点坐标为(一2，2)。  ………    (1分)

      根据题意可设抛物线解析式为。

      其过点A(0，1)和C(-2．2)

      ………

      解这个方程组，得

      此抛物线解析式为

    (2)解：

    ①过点B作BN，垂足为N．

      ∵P点在抛物线y=十l上．可设P点坐标为．

      ∴PS＝，OB＝NS＝2，BN＝。

    ∴PN=PS—NS= ………………………… (5分)

      在RtPNB中．

      PB＝

    ∴PB＝PS＝………………………… (6分)

    ②根据①同理可知BQ＝QR。

    ∴，

    又∵ ，

    ∴，

    同理SBP＝………………………… (7分)

    ∴

    ∴

    ∴.

    ∴ △SBR为直角三角形．………………………… (8分)

    ③方法一：

    设，

    ∵由①知PS＝PB＝b．，。

    ∴

    ∴。………………………… (9分)

    假设存在点M．且MS＝，别MR＝ 。

    若使△PSM∽△MRQ，

    则有。

    即

    ∴。

    ∴SR＝2

    ∴M为SR的中点.………………………… (11分)

    若使△PSM∽△QRM，

    则有。

    ∴。

    ∴。

    ∴M点即为原点O。

      综上所述，当点M为SR的中点时．PSM∽MRQ；当点M为原点时，PSM∽MRQ．………………………… (13分)

    方法二：

      若以P、S、M为顶点的三角形与以Q、M、R为顶点的三角形相似，

    ∵，

    ∴有PSM∽MRQ和PSM∽△QRM两种情况。

      当PSM∽MRQ时．SPM＝RMQ，SMP＝RQM．

      由直角三角形两锐角互余性质．知PMS+QMR＝。

    ∴。………………………… (9分)

      取PQ中点为N．连结MN．则MN＝PQ=．…………………… (10分)

    ∴MN为直角梯形SRQP的中位线,

    ∴点M为SR的中点  ……………………(11分)

    当△PSM∽△QRM时，

    又，即M点与O点重合。

    ∴点M为原点O。

    综上所述，当点M为SR的中点时，PSM∽△MRQ；当点M为原点时，PSM∽△QRM………   (13分)

     

     

     

     

     解析:略

     

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    （2）若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；
    （3）连接OA、AB，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．
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    （1）此抛物线的解析式；
    （2）如图2，若点P为所求抛物线上的一动点，试判断以点P为圆心，PB为半径的圆与x轴的位置关系，并说明理由．
    （3）如图2，设点P在抛物线上且与点A不重合，直线PB与抛物线的另一个交点为Q，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为N、M，连接PO、QO．求证：△QMO∽△PNO．
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    （2）如图2，若P点为抛物线上不同于A的一点，连接PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为S、R．
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    ②判断△SBR的形状．

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    （1）求此抛物线的解析式；
    （2）如图2，若P点为抛物线上不同于A的一点，连结PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为S、R．
    ①求证：PB=PS；
    ②试探索在线段SR上是否存在点M，使得以点P、S、M为顶点的三角形和以点Q、R、M为顶点的三角形相似？若存在，请找出M点的位置；若不存在请说明理由．

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