Question

如图，以△ABC的各边为一边向BC的同侧作正△ABD、正△BCF、正△ACE，若∠BAC=150°，求证：四边形AEFD为矩形．

Answer 1

分析：根据题中的等式关系可推出两组对边分别相等，从而可判断四边形DAEF为平行四边形，又因为∠BAC=150°，所以∠DAE=150°-∠DAB-∠EAC=90°，从而证明：四边形AEFD为矩形．

解答：解：∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°，
∴∠DBF=∠ABC．
又∵BD=BA，BF=BC，
∴△ABC≌△DBF，
∴AC=DF=AE，
同理可证△ABC≌△EFC，
∴AB=EF=AD，
∴四边形DAFEF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
∵∠BAC=150°，
∴∠DAE=150°-∠DAB-∠EAC=90°，
∴四边形AEFD为矩形．

点评：本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及矩形的性质，题目的综合性比较好，难度不大．