Question

如图1，AB∥CD，在AB、CD内有一条折线EPF．
（1）求证：∠AEP+∠CFP=∠EPF．
（2）如图2，已知∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，∠EPF=α，∠EQF=β，请探究α与β之间的关系，并说明理由．

Answer 1

考点：平行线的性质

专题：常规题型

分析：（1）过P点作PG∥AB，根据平行线的性质由PG∥AB得到∠EPG=∠AEP，再根据平行线的性质得PG∥CD，则∠FPG=∠CFP，所以∠AEP+∠CFP=∠EPF；
（2）先根据邻补角的定义得∠BEP=180°-∠AEP，∠DFP=180°-∠CFP，由（1）的结论得∠AEP+∠CFP=α，则∠BEP+∠DFP=360°-α，同样可得∠BEQ+∠DFQ=∠EQF=β，根据角平分线的定义得到∠BEP+∠DFP=2（∠BEQ+∠DFQ），所以360°-α=2β．

解答：（1）证明：过P点作PG∥AB，如图，
∵PG∥AB，
∴∠EPG=∠AEP，
∵AB∥CD，
∴PG∥CD，
∴∠FPG=∠CFP，
∴∠AEP+∠CFP=∠EPF；
（2）解：α+2β=360°．理由如下：
∵∠BEP=180°-∠AEP，∠DFP=180°-∠CFP，
而∠AEP+∠CFP=α，
∴∠BEP+∠DFP=360°-α，
与（1）一样可得∠BEQ+∠DFQ=∠EQF=β，
而∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，
∴∠BEP+∠DFP=2（∠BEQ+∠DFQ），
∴360°-α=2β，
即α+2β=360°．

点评：本题考查了平行线的性质：平行于同一条直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等．