Question

如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=1,点P在线段AB上运动，设AP=，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原。

　

（1）当时，折痕EF的长为( )；当点E与点A重合时，折痕EF的长为( )；

（2）请写出使四边形EPFD为菱形的的取值范围，并求出当时菱形的边长；

（3）令，当点E在AD、点F在BC上时，写出与的函数关系式。当取最大值时，判断与是否相似？若相似，求出的值；若不相似，请说明理由。

Answer 1

（1）3　　

（2）1≤x≤3

当x=2时，如图1，连接DE，PF

∵EF为折痕∴DE=PE

令PE为m，则AE=2-m

在直角△ADE中　 AD²AE²＝DE²

∴1+（2-m）²=m²

解得 m=5／4

此时菱形边长为5／4

（3）如图2，过E作EH⊥BC，易证△EFH∽△DPA

∴FH／EH＝AP／AD　 ∴FH＝3x

∴y=EF²＝EH²+FH²＝9+9x²

当F与点C重合时，如图3，连接PF

∵PF＝DF＝3　　 ∴PB=

∴0≤x≤3-2

∴y=9+9x²的值在Y轴右侧随x增大而增大

当x =3-2时，Ｙ有最大值

∠ＥＰＦ＝９０º

△EPA∽△ＰＢＦ

综上所诉，当Ｙ取最大值时，△EPA∽△ＰＢＦ，x =3-2