Question

如图①，线段PB过圆心O，交圆O于A、B两 点，PC切圆O于点C，作AD⊥PC，垂足为D，连接AC、BC。（1）写出图①中所有相等的角（直角除外），并给出证明；
（2）若图①中的切线PC变为图②中割线PCN的情形，PCN与圆O交于C、N两点，AN与BC交于点M，AD⊥PN，写出图②中相等的角（写出三组即可，直角除外）；
（3）在图②中，证明AD·AB=AC·AN。

Answer 1

解：（1）图①中相等的角有：
∠ACD=∠ABC，∠BAC=∠CAD，
证明：连接OC，则OC⊥PC，
∵AD⊥PC，
∴AD∥OC，
∴∠CAD=∠OCA，
又OA=OC，∠BAC=∠OCA，
∴∠BAC=∠CAD，
又AB为直径，∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠B=90°，
∴∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠ABC；
（2）∠ACD=∠ABN，∠ABC=∠ANC，∠BAN=∠BCN，∠BNA=∠BCA，∠CBN=∠CAN（三组即可）。（3）易证△ADC≌△ANB，
∴，
∴AD·AB=AC·AN。