Question

（2011•秀洲区一模）已知a，b是正整数，若有序数对（a，b）使得2(

1 a

+

1 b

)的值也是整数，则称（a，b）是2(

1 a

+

1 b

)的一个“理想数对”，如（1，4）使得2(

1 a

+

1 b

)=3，所以（1，4）是2(

1 a

+

1 b

)的一个“理想数对”．请写出2(

1 a

+

1 b

)其它所有的“理想数对”：

（1，1）、（4，1）、（4，4）、（16，16）、（9，36）、（36，9）

．

Answer 1

分析：根据已知假设a的值，分别进行分析讨论得出使得2(

1 a

+

1 b

)的值也是整数时，b的值，进而得出答案．

解答：解：当a=1，

1 a

=1，要使2(

1 a

+

1 b

)为整数，

1 b

=1或

1

2

时，2(

1 a

+

1 b

)分别为4和3，
得出（1，4）（1，1）是2(

1 a

+

1 b

)的“理想数对”，
当a=4，

1 a

=

1

2

，要使2(

1 a

+

1 b

)为整数，

1 b

=1或

1

2

时，2(

1 a

+

1 b

)分别为3和2，
得出（4，1）（4，4）是2(

1 a

+

1 b

)的“理想数对”，
当a=9，

1 a

=

1

3

，要使2(

1 a

+

1 b

)为整数，

1 b

=

1

6

时，2(

1 a

+

1 b

)=1，
得出（9，36）是2(

1 a

+

1 b

)的“理想数对”，
当a=16，

1 a

=

1

4

，要使2(

1 a

+

1 b

)为整数，

1 b

=

1

4

时，2(

1 a

+

1 b

)=1，
得出（16，16）是2(

1 a

+

1 b

)的“理想数对”，
当a=36，

1 a

=

1

6

，要使2(

1 a

+

1 b

)为整数，

1 b

=

1

3

时，2(

1 a

+

1 b

)=1，
得出（36，9）是2(

1 a

+

1 b

)的“理想数对”，
即其它所有的“理想数对”：（1，1）、（4，1）、（4，4）、（16，16）、（9，36）、（36，9）．
故答案为：（1，1）、（4，1）、（4，4）、（16，16）、（9，36）、（36，9）．

点评：本题考查了二次根式的性质和化简，解决此题的关键是分类讨论思想，得出a、b可能的取值．