Question

16．在平面直角坐标系中，抛物线y=-mx²+4mx+3（m＞0）的图象与x轴的一个交点为（-1，0）．点A在y轴正半轴上，点B在x轴正半轴上，始终有OA=3OB．连接AB，将线段AB绕点B按顺时针旋方向旋转90°得到线段BC，过点C作直线l⊥x轴于H，过点A作AD⊥l于D．

（1）若直线l刚好是抛物线的对称轴时，求OB的长；
（2）若四边形ABCD的面积等于9时，求点D的坐标，并判断点D是否落在抛物线上；
（3）在（2）的条件下，点P是直线l上的一个动点．
①试探究在抛物线上，是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
②当∠PBC＜45°时，求点P的纵坐标n的取值范围．（直接写出答案）

Answer 1

分析 （1）先求得抛物线的对称轴，从而得到OH=2，然后证明△AOB≌△BHC，则OA=BH．设OB=a，则OA=BH=3a，然后由OH=2可求得a的值；
（2）设OB=a，则OA=BH=3a．依据四边形ABCD的面积=矩形AOHD的面积-2△AOB的面积列方程可求得a的值，然后可求得点D的坐标，将（-1，0）代入抛物线的解析式可求得m的值，从而得到抛物线的解析式，然后可判定出点D是否在抛物线上；
（3）①当AB为平行四边形的边时，则PQ∥AB且PQ=AB．如图1所示：当点Q在点P的上方时．设点P的坐标为（4，m）则点Q的坐标为（3，m+3），将点Q的坐标代入抛物线的解析式可求得m的值，故此可得到Q的坐标；当点Q在点P的下方时．设点P的坐标为（4，m）则点Q的坐标为（5，m-3）．将点Q的坐标代入抛物线的解析式可求得m的值，故此可得到Q的坐标；当AB为抛物线的对角线时，设点P的坐标为（4，m），Q（x，y）．依据中点坐标公式可求得点Q的坐标，然后将点Q的坐标代入抛物线的解析式可求得m的值，故此可得到Q的坐标；②如图3所示：当点P在点C的上方时，且∠PBC=45°．先证明△ABE≌△CBE，则AE=EC．设DE=a，则EC=AE=4-a．在Rt△EDC中，由勾股定理可求得a的值，故此可得到E（2.5，3），然后可求得BP的解析式，并可得到点P的坐标，当点P位于点P′处时，且∠P′BC=45°，则∠PBP′=90°．可求得BP′的解析式，并可得到点P′的坐标，依据点P和点P′的坐标可得到n的范围．

解答 解：（1）∵x=-$\frac{b}{2a}$，
∴x=2．
∵∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBH=90°．
∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠BAO=∠CBH．
在△AOB和△BHC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠BHC}\\{AB=BC}\\{∠BAO=∠CBH}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△BHC．
∴OA=BH．
设OB=a，则OA=BH=3a，
又∵直线l刚好是抛物线的对称轴，
∴OH=2，即4a=2，解得a=$\frac{1}{2}$．
∴OB=$\frac{1}{2}$．
（2）设OB=a，则OA=BH=3a．
∵∠AOH=OHD=∠ADH=90°，
∴四边形AOHD为矩形．
∴四边形ABCD的面积=矩形AOHD的面积-2△AOB的面积=3a•4a-2×$\frac{1}{2}$×a•3a=9，解得a=1（负值已舍去）．
∴OB=1，AO=3，OH=4．
∴点D的坐标为（4，3）．
将（-1，0）代入抛物线的解析式得：-m-4m+3=0，解得m=$\frac{3}{5}$．
所以y与x的函数关系式为y=-$\frac{3}{5}$x²+$\frac{12}{5}$x+3．
∵点D的坐标符合函数y=-$\frac{3}{5}$x²+$\frac{12}{5}$x+3的关系式，
∴点D在二次函数的图象上．
（3）①当AB为平行四边形的边时，则PQ∥AB且PQ=AB．
如图1所示：当点Q在点P的上方时．

设点P的坐标为（4，m）则点Q的坐标为（3，m+3）．
将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：m+3=-$\frac{3}{5}$×9+$\frac{12}{5}$×3+3，解得m=$\frac{9}{5}$．
所以点Q的坐标为（3，$\frac{24}{5}$）．
如图2所示当点Q在点P的下方时．

设点P的坐标为（4，m）则点Q的坐标为（5，m-3）．
将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：m-3=-$\frac{3}{5}$×25+$\frac{12}{5}$×5+3，解得m=3．
所以点Q的坐标为（5，0）．
当AB为抛物线的对角线时，设点P的坐标为（4，m），Q（x，y）．
依据中点坐标公式可知：$\frac{4+x}{2}=\frac{1}{2}$，$\frac{y+m}{2}=\frac{3}{2}$，
所以x=-3，y=3-m．
将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：3-m=-$\frac{3}{5}$×（-3）²-$\frac{36}{5}$+3，
解得：m=$\frac{63}{5}$．
所以点Q的坐标为（-3，-$\frac{48}{5}$）．
所以点Q的坐标为（3，$\frac{24}{5}$）或（5，0）或（-3，-$\frac{48}{5}$）．
②如图3所示：当点P在点C的上方时，且∠PBC=45°．

在△ABE和△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=CBE}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBE．
∴AE=EC．
设DE=a，则EC=AE=4-a．由（1）可知：DC=DH-CH=2，
在Rt△EDC中，由勾股定理得：a²+2²=（4-a）²，解得：a=1.5，
∴E（2.5，3）．
设BE的解析式为y=kx+b，将点B和点E的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{2.5k+b=3}\\{k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：k=2，b=-2．
直线BE的解析式为y=2x-2．
将x=4代入得：y=6．
当点P位于点P′处时，且∠P′BC=45°，则∠PBP′=90°．
设直线BP′的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+b，
将点B的坐标代入得：-$\frac{1}{2}$×1+b=0，解得b=$\frac{1}{2}$．
∴直线BP′的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$．
将x=4代入得：y=-$\frac{3}{2}$．
∴n的取值范围是-$\frac{3}{2}$＜n＜6．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，分类讨论是解答问题（2）的关键，确定出将∠PBC=45时，点P的坐标是解答问题（3）的关键．