Question

如图：等腰直角△ABC放置在直角坐标系中，∠BAC=90°，AB=AC，点A在x轴上，点B的坐标是（0，3），点C在第一象限内，作CD⊥x轴．
（1）求证：△AOB≌△CDA；
（2）若点C恰好在曲线y=上，求点C的坐标．

Answer 1

（1）证明：∵∠BAC=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵CD⊥x轴，
∴∠2+∠4=90°，
∴∠1=∠4，∠2=∠3，
∵在△AOB与△CDA中，

∴△AOB≌△CDA（ASA）；

（2）解：∵△AOB≌△ACD，
∴OA=CD，AD=OB=3，
设OA=m，
∴C（m+3，m），
∵点C在反比例函数y=的图象上，
∴m（m+3）=10，解得m₁=2，m₂=-5（舍去），
∴点C的坐标为（5，2）．
分析：（1）先根据直角三角形的性质得出∠1=∠4，∠2=∠3，再由ASA定理即可得出结论；
（2）由△AOB≌△ACD可知OA=CD，AD=OB=3，设OA=m，则C（m+3，m），再根据点C在反比例函数y=的图象上可知m（m+3）=10，由此可得出m的值，进而得出点C的坐标．
点评：本题考查的是反比例函数综合题，涉及到全等三角形的判定于性质、反比例函数图象上点的坐标特点等知识，难度适中．