Question

在△ABC中，AB=AC，AC⊥BA，M为BC边中点，一等腰直角三角尺的直角顶点P在BC边上移动，两直角边分别与AB，AC交于E，F两点且斜边与BC平行．
（1）在图1中，当三角尺的直角顶点P恰好移动到M点时，请你通过观察、测量，猜想并写出ME与MF满足的数量关系及位置关系，然后证明你的猜想；
（2）当三角尺的直角顶点P沿BC方向移动到图2所示的位置时，请你通过观察、测量、猜想并写出ME与MF满足的数量关系及位置关系，然后证明你的猜想；
（3）当三角尺在（2）的基础上沿BC方向继续向右平移到图3所示的位置（点P在线段BC的延长线上，三角尺两直角边所在直线与△ABC的两边BA，AC的延长线分别交于点E，F，且点P与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用说明理由）

Answer 1

解：（1）ME=MF，ME⊥MF．
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵BM=CM，∠BME=CMF
∴△BEM≌△CFM
∴ME=MF
∵∠EMA+∠AMF=∠FMC+∠AMF=∠AMC=90°
∴ME⊥MF

（2）ME=MF，ME⊥MF；
证明：连接AM
∵△ABC是等腰直角三角形，M为斜边BC的中点
∴AM=BC=CM，AM⊥BC，∠EAM=∠C=45°
∴∠AMC=90°
∵两个三角形是等腰直角三角形，且斜边平行，直角顶点P在斜边BC上移动
∴四边形AEPF为长方形
∴AE=PF=CF
∴△AEM≌△CFM
∴ME=MF，∠AME=∠CMF
∴∠EMA+∠AMF=∠FMC+∠AMF=∠AMC=90°
∴ME⊥MF

（3）ME=MF，ME⊥MF仍然成立．
分析：（1）ME=MF，ME⊥MF．根据已知条件容易证明Rt△BEM≌Rt△CFM，然后就可以得到结论；
（2）结论仍然成立．连接AM，根据等腰直角三角形的性质知道∠AMC=90°，而两个三角形是等腰直角三角形，且斜边平行，直角顶点P在斜边BC上移动，由此得到四边形AEPF为矩形，进一步得到AE=PF=CF，然后就可以证明△AEM≌△CFM，利用全等三角形的性质就可以证明结论了；
（3）仍然成立．连接AM，和（2）一样，证明△AEM≌△CFM，然后利用全等三角形的性质就可以证明结论．
点评：此题主要考查了等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质；把图形的变换放在等腰直角三角形的背景中，充分发挥其性质来探究图形变换的规律．