Question

如图，已知O为坐标原点，∠AOB=30°，∠ABO=90°，且点A的坐标为（2，0）．
（1）求点B的坐标；
（2）若二次函数y=ax²+bx+c的图象经过A、B、O三点，求此二次函数的解析式；
（3）在（2）中的二次函数图象的OB段（不包括点O、B）上，是否存在一点C，使得四边形ABCO的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）在Rt△OAB中，由∠AOB=30°可以得到OB=

3

，过点B作BD垂直于x轴，垂足为D，利用已知条件可以求出OD，BD，也就求出B的坐标；
（2）根据待定系数法把A，B，O三点坐标代入函数解析式中就可以求出解析式；
（3）设存在点C（x，-

2 3

3

x²+

4 3

3

x），使四边形ABCO面积最大，而△OAB面积为定值，只要△OBC面积最大，四边形ABCO面积就最大．过点C作x轴的垂线CE，垂足为E，交OB于点F，则S_△OBC=S_△OCF+S_△BCF=

1

2

|CF|•|OE|+

1

2

|CF|•|ED|=

1

2

|CF|•|OD|=

3

4

|CF|，而|CF|=y_C-y_F=-

2 3

3

x²+

4 3

3

x-

3

3

x=-

2 3

3

x²+

3

x，这样可以得到S_△OBC=-

3

2

x²+

3 3

4

x，利用二次函数就可以求出△OBC面积最大值，也可以求出C的坐标．

解答：解：（1）在Rt△OAB中，
∵∠AOB=30°，
∴OB=

3

，
过点B作BD垂直于x轴，垂足为D，则OD=

3

2

，BD=

3

2

，
∴点B的坐标为（

3

2

，

3

2

）．（1分）

（2）将A（2，0）、B（

3

2

，

3

2

）、O（0，0）三点的坐标代入y=ax²+bx+c，
得

4a+2b+c=0  9 4 a+ 3 2 b+c= 3 2 c=0

（2分）
解方程组，有a=-

2 3

3

，b=

4 3

3

，c=0．（3分）
∴所求二次函数解析式是y=-

2 3

3

x²+

4 3

3

x．（4分）

（3）设存在点C（x，-

2 3

3

x²+

4 3

3

x）（其中0＜x＜

3

2

），使四边形ABCO面积最大
∵△OAB面积为定值，
∴只要△OBC面积最大，四边形ABCO面积就最大．（5分）
过点C作x轴的垂线CE，垂足为E，交OB于点F，
则S_△OBC=S_△OCF+S_△BCF=

1

2

|CF|•|OE|+

1

2

|CF|•|ED|=

1

2

|CF|•|OD|=

3

4

|CF|，（6分）
而|CF|=y_C-y_F=-

2 3

3

x²+

4 3

3

x-

3

3

x=-

2 3

3

x²+

3

x，
∴S_△OBC=-

3

2

x²+

3 3

4

x．（7分）
∴当x=

3

4

时，△OBC面积最大，最大面积为

9 3

32

．（8分）
此时，点C坐标为（

3

4

，

5 3

8

），四边形ABCO的面积为

25 3

32

．（9分）

点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式、图形变换、解直角三角形、利用二次函数探究不规则图形的面积最大值重要知识点，综合性强，能力要求极高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．