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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    精英家教网如图，在矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米（a＞3），动点M，N同时从B点出发，分别沿BA，BC方向运动，速度都是1厘米/秒，过M作直线垂直于AB，分别交AN，CD于P，Q，当点N到达终点C时，点M也随之停止运动．设运动时间为t秒．
    （1）若a=4厘米，t=1秒，则PM=
     
    厘米；
    （2）若a=5厘米，求时间t，使△PNB∽△PAD，并求出它们的相似比；
    （3）若在运动过程中，存在某个时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范围．
    分析：（1）由题意知，当t=1秒时，BN=BM=1，又因为PM⊥BC，所以△APM∽△ANB，根据相似三角形的性质，可以求出PM的值．
    （2）根据题意，作出图形，当△PNB∽△PAD时，对应边之比等于高之比，即
    BN
    AD
    =
    BM
    AM
    ，进而可以求出时间t．
    （3）设BN=x，则0≤x≤3，则BM=x，再用x表示出PM，就可以用x表达出两个梯形的面积，求出x的值，进而求出a的取值．
    解答：精英家教网解：（1）由题意知，当t=1秒时，BN=BM=1，
    ∵a=4厘米，∴AM=3，
    又∵PM⊥AB，
    ∴△APM∽△ANB，
    ∴
    PM
    BN
    =
    AM
    AB
    ，
    即
    PM
    1
    =
    3
    4
    ，
    解得，PM=
    3
    4
    ；

    （2）如图示，作出△PNB和△PAD，则BM和AM分别是它们的高，
    若△PNB∽△PAD，则
    BN
    AD
    =
    BM
    AM
    ，即
    t
    3
    =
    t
    5-t
    ，解得，t=2．
    即t=2时，△PNB∽△PAD，相似比为
    2
    3
    ．

    （3）设BN=x，则0≤x≤3，则BM=x，
    由（1）知，△APM∽△ANB，∴
    PM
    BN
    =
    AM
    AB
    ，∴
    PM
    x
    =
    a-x
    a
    ，
    ∴PM=
    x(a-x)
    a
    ，
    所以由题意得，
    (3-
    x(a-x)
    a
    +3)• (a-x)
    2
    =
    (
    x(a-x)
    a
    +x)•x
    2
    ，
    解得x=
    6a
    a+6
    ，所以0≤
    6a
    a+6
    ≤3，解得0≤a≤6．
    又∵a＞3，
    ∴a的范围是3＜a≤6．

    补充：设BN=BM=x，则PM=
    x(a-x)
    a
    ，
    使梯形PMBN和梯形PQDN面积相等，由（3）得3＜a≤6；
    若它们的面积都等于梯形PQCN的面积，
    ∴S梯形PMBN=
    1
    2
    S矩形BCQM
    即
    1
    2
    [
    x(a-x)
    a
    +x]•t=
    1
    2
    •3•t，
    解得t=a±
    		a2-3a
    ，a＞3，
    ∴t=a-
    		a2-3a
    ，
    而0≤t≤3，
    ∴a＞3，
    所以a的范围是3＜a≤6．
    点评：能够利用平行线判定相似三角形，并且利用相似的性质列出比例式是解题的关键．
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    （2）若AB=
    		2
    ，BC=2，求⊙O的半径．

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    （1）请解释图中点H的实际意义？
    （2）求P、Q两点的运动速度；
    （3）将图②补充完整；
    （4）当时间t为何值时，△PCQ为等腰三角形？请直接写出t的值．

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    （2）x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
    （3）若设线段AB的长为m，上述其它条件不变，m为何值时，函数y的最大值等于3？

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