Question

如图示已知点M的坐标为（4，0），以M为圆心，以2为半径的圆交x轴于A、B，抛物线过A、B两点且与y轴交于点C．
（1）求点C的坐标并画出抛物线的大致图象；
（2）已知点Q（8，m），P为抛物线对称轴上一动点，求出P点坐标使得PQ+PB值最小，并求出最小值；
（3）过C点作⊙M的切线CE，求直线OE的解析式．

Answer 1

解：（1）将A（2，0）B（6，0）代入中，得：
，
解得；
∴；
将x=0代入上式，则y=2，
∴C（0，2）．

（2）将x=8代入抛物线的解析式中，得y=2，
∴Q（8，2）；
过Q作QK⊥x轴，
过对称轴直线x=4作B的对称点A，则PB+PQ=QA；
在Rt△AQK中，AQ===，
即PB+PQ=；
已知直线AQ：y=x-，
当x=4时，y=，故P（4，）．

（3）如图有CE₁和CE₂，连接CM；
在Rt△COM和Rt△ME₁C中，
∴Rt△COM≌Rt△MEC（HL）；
则有矩形COME₁，
则E₁点坐标为（4，2）；
有直线OE₁解析式为，
连接ME₂、OE₂
在△COD和△ME₂D中，
∵，
∴△COD≌△ME₂D（AAS），
则OD=E₂D，DC=DM，
∴∠DOE₂=∠DE₂O，∠DCM=∠DMC，
∵∠ODE₂=∠CDM，
∴∠DOE₂=∠DE₂O，∠DCM=∠DMC，
则CM与OE₂平行；
设CM的解析式为y=kx+b，则有：
，
解得；
∴；
则OE₂的解析式为．
分析：（1）根据圆心M的坐标和圆的半径，即可得到A、B两点的坐标，将它们代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值，进而可确定该抛物线的解析式，即可得到点C的坐标．
（2）由于点Q在抛物线的图象上，将其代入抛物线的解析式中，即可确定点Q的坐标，由于A、B关于抛物线的对称轴对称，那么AQ与抛物线对称轴的对称点即为所求的P点，先求出直线AQ的解析式，联立抛物线的对称轴，即可得到点Q的坐标；而PQ+PB的最小值即为AQ的长，已知A、Q的坐标，即可利用勾股定理求得AQ的长，由此得解．
（3）此题应分两种情况考虑：
①E点在M点上方，此时易证得四边形OCE₁M是矩形，根据点M的坐标和圆的半径即可得到点E1的坐标，进而可利用待定系数法求得直线OE₁的解析式；
②E点在M点下方，由于CO=ME₂=2，易证得△COD≌△ME₂D，可得OD=DE₂，CD=DM，那么∠DOE₂=∠DE₂O=∠DCM=∠DMC，由此可证得CM∥OE₂，可先求出直线CM的斜率，进而可求出直线OE₂的解析式．
点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、平面展开-最短路径问题、全等三角形的判定和性质等重要知识点，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度较大．