Question

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，写出DE、AD、BE具有的数量关系，并说明理由；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，写出DE、AD、BE具有的数量关系，不必说明理由；
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，问DE、AD、BE具有怎样的数量关系，不必说明理由；

Answer 1

分析：（1）DE=AD+BE，首先证明△ACD≌△CBE，可得AD=CE，CD=BE，进而得到DE=CE+CD=AD+BE；
（2）DE=AD-BE，首先证明△ADC≌△CEB，可得AD=CE，DC=BE，进而得到DE=AD-BE；
（3）与（2）类似，可证出DE=BE-AD．

解答：（1）DE=AD+BE．
证明：∵∠DAC+∠ACD=90°，∠ACD+∠ECB=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△DAC和△ECB中

∠DAC=∠ECB ∠ADC=∠CEB AC=BC

，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=CE+CD=AD+BE；

（2）∵∠ACB=90°，∠ADC=90°，
∴∠2+∠3=90°，∠1+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
在△ADC和△CEB中，

∠1=∠2 ∠ADC=∠CEB AC=BC

，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=CE-CD=AD-BE；

（3）DE=BE-AD．证明的方法与（2）相同．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了直角三角形全等的判定与性质．