Question

如图，在等腰梯形AOBC中，AC∥OB，OA=BC．以O为原点，OB所在直线为x轴建立直角坐标系xoy，已知已知A（2，2），B（8，0）．
（1）直接写出点C的坐标，并求出等腰梯形AOBC的面积；
（2）设D为OB的中点，以D为圆心，OB长为直径作⊙D，试判断点A与⊙D的位置关系；
（3）在第一象限内确定点M，使△MOB与△AOB相似，求出所有符合条件的点M的坐标．

Answer 1

解：（1）C（6，）；
过A作AE⊥OB于E．
则由A、B、C的坐标可求得：
AC=4，OB=8，AE=．
∴=；

（2）连接AD．
∵AC∥OB，即AC∥BD．
又D是圆心，
∴DB=OB=4=AC．
∴ACBD是平行四边形．
∴AD=CB=AO．
在直角三角形AEO中，由勾股定理可求得AO=4．
∴AD=AO=4=OB．
∴点A在⊙D上；

（3）∵点A在⊙D上，OB为直径，
∴∠OAB=90°．即△OAB是直角三角形．
故符合题意的点M有以下3种情况：
①当△OM₁B与△BAO相似时（如图），则有．
∴M₁B=AO．
∵CB=AO，∴M₁B=CB．
∴点M₁与点C重合．
∴此时点M₁的坐标为（6，2）；
②当△OM₂B与△OBA相似时，即过B点作OB的垂线交OA的延长线于M₂（如图），
则有．
在直角三角形△OAB中，由勾股定理可求得AB=4．
∴M₂B=8．
∴此时点M₂的坐标为（8，8）．
③当△OM₃B与△BOA相似时，即过B点作OB的垂线交OC的延长线于M₃（如图），
则有．
∴M₃B=．
∴此时点M₃的坐标为（8，）．
分析：（1）根据等腰梯形的性质，可得C（6，）；由A、B、C的坐标与梯形面积的求解方法，可求得等腰梯形AOBC的面积；
（2）连接AD，即可证得ACBD是平行四边形，在直角三角形AEO中，由勾股定理可求得AO=4，又由AD=AO=4=OB，则可得点A在⊙D上；
（3）在第一象限内确定点M，使△MOB与△AOB相似，符合条件的有3个点；①当△OM₁B与△BAO相似时（如图），则有．
②当△OM₂B与△OBA相似时，即过B点作OB的垂线交OA的延长线于M₂（如图），则有．当△OM₃B与△BOA相似时，即过B点作OB的垂线交OC的延长线于M₃（如图），则有．代入数值依次求解即可．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，以及在直角坐标系中的综合应用．题目比较难，注意辅助线的作法与数形结合思想的合理应用．