Question

（2012•石景山区一模）已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点A（1，0）和B（3a，-a）（a＞0），且点B在反比例函数y=-

3

x

的图象上．
（1）求一次函数的解析式；
（2）若点M是y轴上一点，且满足△ABM是直角三角形，请直接写出点M的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据点B（3a，-a）在反比例函数y=-

3

x

的图象上，代入反比例函数解析式求出a的值再用待定系数法求出函数解析式；
（2）根据所得三角形为直角三角形，利用直角三角形的性质解答．

解答：解：（1）∵点B（3a，-a）在反比例函数y=-

3

x

的图象上，
∴-a=-

3

3a

，a=±1，
∵a＞0，
∴a=1，…（1分）
∴B（3，-1），
∵A（1，0）和B（3，-1）在一次函数y=kx+b（k≠0）的图象上，
∴

k+b=0 3k+b=-1

，
解得 

k=- 1 2 b= 1 2

，…（2分）
∴一次函数的解析式为y=-

1

2

x+

1

2

．…（3分）
（2）①设M₁（0，a），
则AM₁²=1+a²，BM₁²=9+（a+1）²，AB²=5，
∵9+（a+1）²＞5，9+（a+1）²＞1+a²，
∴BM₁为斜边：AM₁²+AB²=BM₁²，即1+a²+5=9+（a+1）²，解得a=-2，即M₁（0，-2）；
②设M₂（0，b），
CA=

12+( 1 2 )2

=

5

2

，
CB=

5

+

5

2

=

3 5

2

，
M₂C²=CB²+BM²，
则有（

1

2

-b）²=（

3 5

2

）²+（3-0）²+（-1-b）²，
解得b=-7．
故得M₂（0，-7）…（5分）

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，知道二次函数图象上的点符合函数解析式是解题的关键．