Question

6．如图，点A从坐标原点出发，沿x轴的正方向运动，点B坐标为（0，4），M是线段AB的中点，将点M绕点A顺时针方向旋转90°得到点C，过点C作x轴的垂线，垂足为F，过点B作y轴的垂线与直线CF相交于点E，连接AC，BC，设点A的横坐标为t．
（1）当点C与点E恰好重合时，求t的值；
（2）当t为何值时，BC取得最小值；
（3）设△BCE的面积为S，当S=6时，求t的值．

Answer 1

分析 （1）由条件可证得△AEF∽△BAO，可得到关于t的方程，可求得t的值；
（2）在Rt△ABC中，可求得BC和AB的关系，在Rt△AOB中，用t可表示出AB，从而可用t表示出BC，再利用二次函数的性质可求得BC取得最小值时t的值；
（3）当0＜t≤8时，点C在点E下方，当t＞8时，CE=CF-EF，用t可表示出CE和BE的长，则可得到S关于t的函数表达式，再令S=6可求得t的值．

解答 解：
（1）当点C与点E重合时，如图1，

则OB=EF=4，OA=t，且AB=2AE，
∵由题意可知∠BAE=90°，
∴∠EAF+∠BAO=∠EAF+∠AEF=90°，
∴∠AEF=∠BAO，且∠EFA=∠AOB，
∴Rt△AEF∽Rt△BAO，
∴$\frac{EF}{OA}$=$\frac{AE}{AB}$=$\frac{1}{2}$，即$\frac{4}{t}$=$\frac{1}{2}$，解得t=8；
（2）如图2，

∵AB=2AC，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$AC，
∴$\frac{BC}{AB}=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，
在Rt△AOB中，由勾股定理可得$AB=\sqrt{16+{t^2}}$，
∴当t=0时，AB有最小，则BC有最小值；
（3）①当0＜t≤8时，则点C在点E的下方，如图2，
同（1）可知$\frac{AF}{OB}$=$\frac{CF}{OA}$=$\frac{1}{2}$，解得AF=2，CF=$\frac{1}{2}$t，
∴BE=OF=OA+AF=t+2，CE=EF-CF=4-$\frac{1}{2}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$BE•CE=$\frac{1}{2}$（t+2）（4-$\frac{1}{2}$t）=-$\frac{1}{4}$t²+$\frac{3}{2}$t+4，
令S=6，可得-$\frac{1}{4}$t²+$\frac{3}{2}$t+4=6，解得t=2或t=4；
②当t＞8时，则点C在点E的上方，如图3，

则CE=CF-EF=$\frac{1}{2}$t-4，
∴S=$\frac{1}{2}$BE•CE=$\frac{1}{2}$（t+2）（$\frac{1}{2}$t-4）=$\frac{1}{4}$t²-$\frac{3}{2}$t-4，
令S=6可得$\frac{1}{4}$t²-$\frac{3}{2}$t-4=6，解得t=-4（舍去）或t=10，
即当S的值为6时，t的值为2或4或10．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及相似三角形的判定和性质、勾股定理、二次函数的性质、三角形的面积、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中证得Rt△AEF∽Rt△BAO是解题的关键，在（2）中找到BC和AB的关系是解题的关键，在（3）中确定出C的位置，用t表示出CE和BE的长是解题的关键，注意分两种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．