Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+3x+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，8），直线l经过原点O，与抛物线的一个交点为D（6，8）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴与直线l交于点E，点T为x轴上方的抛物线上的一个动点．
①当∠TEC=∠TEO时，求点T的坐标；
②直线BT与y轴交于点P，与直线l交于点Q，当OP=OQ时，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把C、D两点的坐标代入抛物线解析式可得 ，解得 ，

∴抛物线解析式为y=﹣ x2+3x+8

（2）

解：①∵y=﹣ x2+3x+8=﹣ （x﹣3）2+ ，

∴抛物线对称轴为x=3，

设直线l解析式为y=kx，

把D（6，8）代入可得8=6k，解得k= ，

∴直线l的解析式为y= x，

∴E（3，4），

∵O（0，0），C（0，8），

∴OE=CE，

∴点E在线段OC的垂直平分线上，

∵∠TEC=∠TEO，

∴TE∥x轴，

∴T的纵坐标为4，

在y=﹣ x2+3x+8中，令y=4可得4=﹣ x2+3x+8，解得x=3+ 或x=3﹣ ，

∴T的坐标为（3+ ，4）或（3﹣ ，4）；

②在y=﹣ x2+3x+8中，令y=0可得0=﹣ x2+3x+8，解得x=﹣2或x=8，

∴B（8，0），

∵E（3，4），

∴OE=5，

如图2，过点E作BP的平行线，交y轴于点F，交x轴于点H，

∴ = ，

∵OP=OQ，

∴OF=OE=5，

∴F（0，5），

∴可设直线PB的解析式为y=kx+5，

把E点坐标代入可得4=3k+5，解得k=﹣ ，

∴直线EF的解析式为y=﹣ x+5，

∴可设直线PB的解析式为y=﹣ x+m，

把B点坐标代入可得0=﹣ ×8+m，解得m= ，

∴P点坐标为（0， ）

【解析】（1）由C、D坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）①可先求得抛物线的对称轴和直线l的解析式，则可求得E点坐标，由条件可证得TE∥x轴，则可求得T点纵坐标，代入抛物线解析式，可求得T点坐标；②过E作BP的平行线，交y轴于点F，交x轴于点H，利用平行线分线段成比例可求得OF=OE，可求得F点坐标，则可求得直线EF的解析式，则可设出直线PB的解析式，把B点代入可求得直线PB解析式，可求得P点坐标．