Question

2．如图所示，在同一直角坐标系xOy中，有双曲线y₁=$\frac{{k}_{1}}{x}$，直线y₂=k₂x+b₁，y₃=k₃x+b₂，且点A（2，5），点B（-6，n）在双曲线的图象上
（1）求y₁和y₂的解析式；
（2）若y₃与直线x=4交于双曲线，且y₃∥y₂，求y₃的解析式；
（3）直接写出$\frac{{k}_{1}}{x}$-k₃x-b₂＜0的解集．

Answer 1

分析 （1）由点A可得反比例函数解析式，据此求得点B坐标，利用点A、B坐标可求得直线y₂的解析式；
（2）由x=4与双曲线解析式求得交点C的坐标，由y₃∥y₂知k₃=k₂=$\frac{5}{6}$，结合点C坐标可得直线y₃的解析式；
（3）利用函数图象找到双曲线位于直线y₃下方所对应的x的范围即可．

解答 解：（1）把A（2，5）代入双曲线y₁=$\frac{{k}_{1}}{x}$得k₁=2×5=10，
∴y₁=$\frac{10}{x}$，
把B（-6，n）代入y₁=$\frac{10}{x}$得：-6n=10，
解得n=-$\frac{5}{3}$，
∴B点坐标为（-6，-$\frac{5}{3}$），
把A（2，5），B（-6，-$\frac{5}{3}$）代入y₂=k₂x+b₁得$\left\{\begin{array}{l}{2{k}_{2}+{b}_{1}=5}\\{-6{k}_{2}+{b}_{1}=-\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=\frac{5}{6}}\\{{b}_{1}=\frac{10}{3}}\end{array}\right.$，
∴y₂=$\frac{5}{6}$x+$\frac{10}{3}$；

（2）如图，

把x=4代入y₁=$\frac{10}{x}$得y=$\frac{5}{2}$，
则C点坐标为（4，$\frac{5}{2}$），
∵y₃∥y₂，
∴k₃=k₂=$\frac{5}{6}$，
把C（4，$\frac{5}{2}$）代入y₃=$\frac{5}{6}$x+b₂得$\frac{5}{2}$=$\frac{5}{6}$×4+b₂，
解得b₂=-$\frac{5}{6}$，
∴y₃=$\frac{5}{6}$x-$\frac{5}{6}$；

（3）-3＜x＜0或x＞4．

点评 本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题：反比例函数图象与一次函数图象的交点坐标同时满足两个函数解析式；利用待定系数法可求函数的解析式．也考查了观察图象的能力．