Question

如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径．
（1）求证：OP垂直平分AB；
（2）求证：PO∥BC；
（3）若∠BAC=25°时，求∠P的度数．

Answer 1

证明：（1）连接OP．
∵PA、PB为⊙O的切线，
∴PA=PB，∠APO=∠BPO
∴OP⊥AB于H；

（2）连接BC．
∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC=90°
∴∠AHO=∠ABC=90°
∴BC∥OP；

（3）∵PA为⊙O的切线，A为切点，∴∠OAP=90°
∴∠AOP=∠HOA，∠OAP=∠AHO=90°
∴△AOH∽△POA
∴∠OAH=∠APO=25°
∴∠APB=50°．
分析：（1）连接OP．利用切线的性质推知△APB为等腰三角形、OP为角平分线；然后根据等腰三角形“三合一”的性质推知OP是边AB的中垂线；
（2）连接BC．利用圆周角定理证得∠ABC=90°，然后结合（1）中的垂直的定义，根据“同位角相等，两直线平行”判定BC∥OP；
（3）由相似三角形△AOH∽△POA的对应角相等即可求得∠APB=50°．
点评：本题考查了切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识点．在圆中，直径所对的圆周角是直角．