Question

如图所示，已知直线与抛物线交于A、B两点，点C是抛物线的顶点．
（1）求出点A、B的坐标；  
（2）求出△ABC的面积；
（3）在AB段的抛物线上是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由直线y=-x与抛物线y=-x²+6交于A、B两点，可得方程-x=-x²+6，解方程即可求得点A、B的坐标；
（2）首先由点C是抛物线的顶点，即可求得点C的坐标，又由S_△ABC=S_△OBC+S_△OAC即可求得答案；
（3）首先过点P作PD∥OC，交AB于D，然后设P（a，-a²+6），即可求得点D的坐标，可得PD的长，又由S_△ABP=S_△BDP+S_△ADP，根据二次函数求最值的方法，即可求得答案．
解答：解：（1）∵直线y=-x与抛物线y=-x²+6交于A、B两点，
∴-x=-x²+6，
解得：x=6或x=-4，
当x=6时，y=-3，
当x=-4时，y=2，
∴点A、B的坐标分别为：（6，-3），（-4，2）；

（2）∵点C是抛物线的顶点．
∴点C的坐标为（0，6），
∴S_△ABC=S_△OBC+S_△OAC=×6×4+×6×6=30；

（3）存在．
过点P作PD∥OC，交AB于D，
设P（a，-a²+6），
则D（a，-a），
∴PD=-a²+6+a，
∴S_△ABP=S_△BDP+S_△ADP=×（-a²+6+a）×（a+4）+×（-a²+6+a）×（6-a）=-（a-1）²+（-4＜a＜6），
∴当a=1时，△ABP的面积最大，
此时点P的坐标为（1，）．
点评：此题考查了二次函数与一次函数的交点问题，三角形面积的求解以及二次函数的最值问题等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．