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(2012•十堰)某工厂计划生产A、B两种产品共50件,需购买甲、乙两种材料.生产一件A产品需甲种材料30千克、乙种材料10千克;生产一件B产品需甲、乙两种材料各20千克.经测算,购买甲、乙两种材料各1千克共需资金40元,购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金105元.
(1)甲、乙两种材料每千克分别是多少元?
(2)现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过38000元,且生产B产品不少于28件,问符合条件的生产方案有哪几种?
(3)在(2)的条件下,若生产一件A产品需加工费200元,生产一件B产品需加工费300元,应选择哪种生产方案,使生产这50件产品的成本最低?(成本=材料费+加工费)
分析:(1)设甲材料每千克x元,乙材料每千克y元,根据购买甲、乙两种材料各1千克共需资金40元,购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金105元,可列出方程组
x+y=40
2x+3y=105
,解方程组即可得到甲材料每千克15元,乙材料每千克25元;
(2)设生产A产品m件,生产B产品(50-m)件,先表示出生产这50件产品的材料费为15×30m+25×10m+15×20(50-m)+25×20(50-m)=-100m+40000,根据购买甲、乙两种材料的资金不超过38000元得到-100m+40000≤38000,根据生产B产品不少于28件得到50-m≥28,然后解两个不等式求出其公共部分得到20≤m≤22,而m为整数,则m的值为20,21,22,易得符合条件的生产方案;
(3)设总生产成本为W元,加工费为:200m+300(50-m),根据成本=材料费+加工费得到W=-100m+40000+200m+300(50-m)=-200m+55000,根据一次函数的性质得到W 随m的增大而减小,然后把m=22代入计算,即可得到最低成本.
解答:解:(1)设甲材料每千克x元,乙材料每千克y元,则
x+y=40
2x+3y=105
,解得
x=15
y=25

所以甲材料每千克15元,乙材料每千克25元;
(2)设生产A产品m件,生产B产品(50-m)件,则生产这50件产品的材料费为15×30m+25×10m+15×20(50-m)+25×20(50-m)=-100m+40000,
由题意:-100m+40000≤38000,解得m≥20,
又∵50-m≥28,解得m≤22,
∴20≤m≤22,
∴m的值为20,21,22,
共有三种方案,如下表:
A(件) 20 21 22
B(件) 30 29 28
(3)设总生产成本为W元,加工费为:200m+300(50-m),
则W=-100m+40000+200m+300(50-m)=-200m+55000,
∵W 随m的增大而减小,而m=20,21,22,
∴当m=22时,总成本最低,此时W=-200×22+55000=50600元.
点评:本题考查了一次函数的应用:通过实际问题列出一次函数关系,然后根据一次函数的性质解决问题.也考查了二元一次方程组以及二元一次不等式组的应用.
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