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如图，已知：AP²=AQ•AB，且∠ABP=∠C，试说明△QPB∽△PBC．

证明：∵AP²=AQ•AB，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵∠A=∠A，
∴△APQ∽△ABP，
∴∠APB=∠AQP，
又∵∠ABP=∠C，
∴△QPB∽△PBC．
分析：首先利用相似三角形的判定得出△APQ∽△ABP，进而得出∠APB=∠AQP，利用两角相等得出△QPB∽△PBC．
点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用已知得出△APQ∽△ABP得出∠APB=∠AQP是解题关键．

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科目：初中数学 来源： 题型：

（2013•太仓市二模）探究与应用．试完成下列问题：
（1）如图①，已知等腰Rt△ABC中，∠C=90°，点O为AB的中点，作∠POQ=90°，分别交AC、BC于点P、Q，连结PQ、CO，求证：AP²+BQ²=PQ²；
（2）如图②，将等腰Rt△ABC改为任意直角三角形，点O仍为AB的中点，∠POQ=90°，试探索上述结论AP²+BQ²=PQ²是否仍成立；
（3）通过上述探究（可直接运用上述结论），试解决下面的问题：如图③，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点O为AB的中点，过C、O两点的圆分别交AC、BC于P、Q，连结PQ，求△PCQ面积的最大值．